Polynômes échelonnés
dans Algèbre
Bonsoir à tous, je veux montrer que (P0, P1, ..., Pn) est une base de Kn[X] avec (P0, P1, ..., Pn) une famille de polynômes échelonnés dans Kn[X].
Après on me demande de déduire que pour tout a dans K, la famille (1,(X-a),(X-a)2...,(X-a)n) est une base de Kn[X].
Bon je sais que l'objectif de l'exercice est de montrer que tout polynôme échelonné est une base, pour ce fait j'ai fait des recherches sur les polynômes échelonnés et j'ai trouvé qued ans un une famille de polynômes échelonnés le degré des Pi est ordonné c'ests-à-dire
deg(P0) $\leqslant$ deg(P1) $\leqslant$ ...$\leqslant$ deg(Pn).
Je dois montrer en fait qu'elle est seulement libre car si on remarque on voit que le card(P)=dim Kn[X]=n+1 avec P=(1,(X-a),(X-a)2...,(X-a)n)
Je sais aussi que je dois montrer que le coefficient de Pn[X] est nul pour prouver une récurrence mais le chemin n'est pas vraiment clair dans mon esprit.
Merci d'avance.
Après on me demande de déduire que pour tout a dans K, la famille (1,(X-a),(X-a)2...,(X-a)n) est une base de Kn[X].
Bon je sais que l'objectif de l'exercice est de montrer que tout polynôme échelonné est une base, pour ce fait j'ai fait des recherches sur les polynômes échelonnés et j'ai trouvé qued ans un une famille de polynômes échelonnés le degré des Pi est ordonné c'ests-à-dire
deg(P0) $\leqslant$ deg(P1) $\leqslant$ ...$\leqslant$ deg(Pn).
Je dois montrer en fait qu'elle est seulement libre car si on remarque on voit que le card(P)=dim Kn[X]=n+1 avec P=(1,(X-a),(X-a)2...,(X-a)n)
Je sais aussi que je dois montrer que le coefficient de Pn[X] est nul pour prouver une récurrence mais le chemin n'est pas vraiment clair dans mon esprit.
Merci d'avance.
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Réponses
Sinon, je ne comprends pas tout de ton message mais la dérivation est souvent un bon outil.
ex :
si $a(x+3)+ b( x^2+7x+3) = 0$ alors en dérivant deux fois tu obtient : $b = 0$ et ensuite si $b = 0$ on a $a=0$.
on parle de polynômes $P_0, P_1, ..., P_n$ échelonnés en degré lorsque les degrés de cette famille de polynômes sont échelonnés de façon stricte. Autrement dit, quitte à renuméroter : $deg \, P_0 = 0$, $deg \, P_1 = 1$, ..., $deg \, P_n = n$. Avec des inégalités larges, tu as peu de chances d'avoir une famille libre.
[edit : grillé par moduloP]
Pour le démontrer, on peut procéder ainsi :
soit $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{K}$ non tous nuls tels que $\displaystyle{\sum_{i=0}^n \lambda_i P_i = 0}$ $(*)$.
Je note $Q$ ce polynôme.
Le coefficient dominant de $Q$ est $\lambda_n \times p_{n,n}$ où $p_ {n,n}$ est le coefficient dominant de $P_ n$.
La relation $(*)$ implique que $\lambda_n \times p_{n,n} = 0$, d'où $\lambda_n = 0$ (puisque $deg \, P_n = n$, nécessairement $p_{n,n} \neq 0$).
On poursuit le raisonnement et on cueille successivement $\lambda_{n-1} = 0$, $\lambda_{n-2}=0$, ... $\lambda_0=0$.
m.
J'aimerais bien savoir si c'est possible de raisonner par récurrence.
Il est écrit "en déduire".
Cordialement.
NB : Fais attention à ce que tu écris, "un polynôme échelonnes" c'est vraiment du n'importe quoi. A xse demander si tu as compris de quoi tu parles ("ce qui se conçoit bien s'énonce clairement")
Polynômes à degré échelonnés
Eh bien, posons $P_k(X)=(X-a)^k$ pour $0\le k\le n$. Vu que le degré de $P_k$ est $k$, d'après la première question, la famille $(P_0,P_1,\dots,P_n)$ est une base. Terminé, au dodo.
Bien sûr, il va répondre "j'ai bien compris, mais j'ai du mal à m'exprimer", l'excuse classique de ceux qui ne comprennent pas. Mais il s'exprime "mal" seulement parce qu'il n'a pas voulu vraiment apprendre (les formulations mathématiques font partie de l'apprentissage).
Cordialement.
(*) Michael et math Coss.
Est-ce qu'on a le droit ou pas ?
Certes tu manies mieux que moi les outils mathématique ce qui est surement une certitude mais tu as eu besoin autrefois que certaine personne vole a ton secours. J'ai connue les-mathématique.net quand je faisais des recherche sur des exercices et ce site m'a beaucoup apporté, la preuve que j'ai validé mon premier semestre de mathématique-informatique avec la mention et j'en suis au second semestre maintenant, j'ai eu à traiter bien plus d'exercice tout seul mais quand je poste un exercice ou une question c'est justement parce que j'ai pas vraiment d'idée sur l'exercice.
Pour tout te dire j'ai eu à chercher l'exercice bien avant de le poster sur ce forum, mais j'arrive tout de même pas à comprendre, et c'est un exercice de TD que nous avons pas encore corrigé mais je voulais avoir une idée sur l'exercice parce que le prof aura à l'expliqué.
J'admire beaucoup tout ce que tu fais pour nous les amateurs en maths, car personnellement tu m'as énormément aidé à comprendre assez de choses que j'ignorais en mathématique, mais stp ne blâme pas @Michael et @Math coss pour leur aide.
Merci de me comprendre bonne journée à vous tous:-)
soit tu n'as pas fait d'algèbre linéaire, et alors c'est idiot de faire cet exercice, soit tu en as fait, tu sais ce que c'est qu'une base, et tu ne peux pas écrire "tout polynôme à degré échelonnés est une base de Kn[X]". Pas si tu es sérieux et si tu sais quel est l'espace vectoriel en cause. A ce niveau d'incompétence, ce n'est pas une explication dont tu as besoin, mais de te donner toi-même des coups de pied au c.. pour te forcer à penser à l'énoncé et à écrire correctement (*).
Si certaines choses ne sont pas encore à ta portée, il faut les apprendre (apprendre les définitions, étudier les théorèmes pour comprendre les démonstrations, éventuellement faire des exercices sur ce que tu sais bien). la technique "je copie des corrigés d'exercices" ne sert à rien si on ne les comprend pas vraiment, si on n'a pas les connaissances (définitions, théorèmes, expressions classiques, ...) pour comprendre. Au mieux on fera des imitations, mais pas des maths.
Et on peut comprendre seul, je l'ai fait sur de nombreuses matières, y compris l'algèbre linéaire. Parfois on bloque, et une explication est nécessaire, mais rarement sur un exercice (j'en ai toujours fait très peu), plus souvent sur le cours. Une fois le cours vraiment compris, la plupart des exercices sont très faciles (c'est pourquoi en première année de fac, je sortais au bout d'une heure et demie pour des examens en 3 heures : j'avais fini - J'avais revu en cours ce que j'avais étudié seul l'année d'avant !).
Bon travail d'apprentissage des bases du cours et du vocabulaire associé !
(*) à ce propos, ton français est assez lamentable ("en mon égare", "pas encore à porter", ..), j'imagine que le français n'est pas ta langue maternelle.