Bijection

Avec l'axiome du choix, on peut démontrer qu'il existe $F$ tel que $F \times \mathbb{N}$ et $E$ sont en bijection. En effet, notons, pour deux ensembles $X$ et $Y$, $Inj(X,Y)$ l'ensemble des bijections de $X$ dans $Y$. Posons alors $G := \{P \subset Inj(\mathbb{N},E) \ \vert \ P \textbf{ est non vide et }\forall i,j \in P, \quad i(\mathbb{N}) \cap j(\mathbb{N}) = \emptyset\}$.
$G$ est non vide, car, $E$ étant infini, il existe une injection de $\mathbb{N}$ dans $E$.
$G$ est inductif pour l'ordre donné par l'inclusion.
Donc, d'après le lemme de Zorn, il existe un élément maximal, $g_{max}$. Alors $E \setminus \bigcup_{i \in g_{max}} i(\mathbb{N})$ est fini. En effet, s'il était infini, on pourrait injecter $\mathbb{N}$ dedans et le rajouter à $g_{max}$, ce qui contredirait la maximalité de $g_{max}$.
On a donc que $i_{max} : g_{max} \times \mathbb{N} \rightarrow E$, définie par $\forall i,n,\quad i_{max}(i,n) := i(n)$, est telle que le complémentaire de son image est fini, de cardinal $n$. Prenons alors $i \in g_{max}$ (il en existe car $g_{max}$, en tant qu'élément de $G$, est non vide) et posons $i'(m) := i(m-n)$ si $m \geq n$, et faisons en sorte que la restriction de $i'$ à $\{0,1,...,n-1\}$ soit une bijection sur $E \setminus i_{max}(g_{max}\times \mathbb{N})$. Il suffit alors de modifier $i_{max}$ en remplaçant $i_{max}(i,\cdot)$ par $i_{max}(i',\cdot)$ ce qui fait bien de cette nouvelle $i_{max}$ une bijection de $g_{max} \times \mathbb{N}$ vers $E$.

Est-ce que ça t'aide ?

EDIT : Modifié, en gras, selon les remarques de GaBuZoMeu.
EDIT2 : Rajout d'une autre remarque. Au fait, merci à GaBuZoMeu !

@Anas: sinon, est-ce que tu connais les ordinaux**? Et aussi est-ce que tu veux vraiment le prouver (de manière à ne pas galérer et "comprendre" la preuve), ou juste veux-tu "apprendre comme information" que c'est une conséquence de l'axiome du choix qui se démontre soigneusement en jamais moins d'un assez grand nombre de lignes (voir par exemple post de Georges qui semble avoir voulu réduire ce nombre le plus possible? )

Par ailleurs, sans l'axiome du choix, il peut exister des ensembles $E$ infini tel que $E$ n'est même pas en bijection avec $E+1$. (Alors $E == E\times \N$ :-D ... )

** si oui, l'axiome du choix entraine que WLOG* tu peux te contenter de le prouver pour les ordinaux et par ailleurs, c'est à peu près évident pour eux.

* AChoix => tout ensemble est en bijection avec un ordinal.

De mon téléphone : ce que te dit Georges c'est que tu peux considérer que E = F fois IN. (longue preuve avec AChoix). Mais après as-tu bien adhéré au fait qu'alors E fois IN = F fois IN fois IN == F fois IN?