Application linéaire continue, Cauchy-Schwarz
dans Algèbre
Bonjour
Soit $E$ l'espace préhilbertien des suites complexes $(u_n)$ satisfaisant $\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ u_n=0$ muni du produit scalaire $ (u,v) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n \overline{v_n}$.
a) Montrer que l'application $\phi : E \rightarrow \mathbb{C}$ définie par $\phi(u) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{u_n}{n}$ est une forme linéaire continue sur $E$.
Une forme linéaire est continue si et seulement si son noyau est fermé. On me dit d'utiliser Cauchy-Schwarz, mais j'ai du mal à voir comment l'utiliser ici. Je pensais plutôt à montrer que $\ker \phi$ est un fermé.
Comment peut-on utiliser Cauchy-Schwarz ici ? Merci d'avance.
[Ne pas confondre Herman Schwarz (1843-1921) avec Laurent Schwartz (1915-2002). ;-) AD]
Soit $E$ l'espace préhilbertien des suites complexes $(u_n)$ satisfaisant $\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ u_n=0$ muni du produit scalaire $ (u,v) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n \overline{v_n}$.
a) Montrer que l'application $\phi : E \rightarrow \mathbb{C}$ définie par $\phi(u) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{u_n}{n}$ est une forme linéaire continue sur $E$.
Une forme linéaire est continue si et seulement si son noyau est fermé. On me dit d'utiliser Cauchy-Schwarz, mais j'ai du mal à voir comment l'utiliser ici. Je pensais plutôt à montrer que $\ker \phi$ est un fermé.
Comment peut-on utiliser Cauchy-Schwarz ici ? Merci d'avance.
[Ne pas confondre Herman Schwarz (1843-1921) avec Laurent Schwartz (1915-2002). ;-) AD]
Réponses
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Bonjour,
Il est facile d'exhiber un élément \(v\) de \(E\) (dépendant de \(u\)) tel que \(\varphi(u) = (u,v)\), ce qui permet d'utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz. -
Indication : $\frac{u_n}{n} = u_n \times \frac{1}{n}$. Pour utiliser Cauchy-Schwarz, toujours penser au fait qu'il faut un produit avec quelque chose.
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Merci, j'ai trouvé $||\phi(u)|| \leq k||u||$ avec $k=\pi/\sqrt{6}$ ce qui montre que l'application est une forme linéaire continue. Je ne savais pas que l'on pouvait le montrer comme ça.
Pour exhiber un élément $v$ tel que $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{u_n}{n} = \sum_{n=0}^{\infty} u_n \overline{v_n}$, je ne pense pas que $v = 1/n$ suffise puisqu'il n'est pas défini en 0... -
Puisque la somme de gauche commence en $1$ tu peux poser $v_0 = 0$
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Perfectinette a écrit:je ne pense pas que $v = 1/n$ suffise puisqu'il n'est pas défini en 0...
L'égalité ne définit rien !! en tout cas pas un élément \(v\) de \(E\), i. e. une suite à support fini. -
Ahhhhh !! J'ai compris !! Bien sûr, $v_0 = 0$ et $v_n = \dfrac{1}{n}$ si $n \neq 0$...
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J'ai compris !! Bien sûr, $v_0 = 0$ et $v_n = \dfrac{1}{n}$ si $n \neq 0$...
Tu n'as pas compris : tu ne définis pas un élément \(v\) de \(E\) ; en conséquence de quoi, tu ne peux pas considérer le supposé produit scalaire \((u,v)\), puisqu'il n'existe pas…
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Bonjour!
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