Résoudre M²= A
Bonjour,
M, A 2 matrices dans Mn (R)
on suppose A diagonalisable de valeurs propres positives µ1, µ2,...,µn . A-t-on le droit d'écrire : M² = A donc M² = P D P-1
Donc M = ( P D P -1 )1/2 donc M = P D1/2 P-1
Et D1/2 = diag (µ11/2 , µ21/2,...,µn1/2)
Ou est-ce n'importe quoi ?
Merci. Les sarcasmes sont les bienvenus !
M, A 2 matrices dans Mn (R)
on suppose A diagonalisable de valeurs propres positives µ1, µ2,...,µn . A-t-on le droit d'écrire : M² = A donc M² = P D P-1
Donc M = ( P D P -1 )1/2 donc M = P D1/2 P-1
Et D1/2 = diag (µ11/2 , µ21/2,...,µn1/2)
Ou est-ce n'importe quoi ?
Merci. Les sarcasmes sont les bienvenus !
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Réponses
Les valeurs propres de $A$ sont strictement positives ou seulement positives ou nulles ?
On suppose $M^2=A$. Commence par te demander si $M$ est diagonalisable ...
N'utilise pas des notations que tu ne connais pas ou qui ne sont pas dans ton cours.
Et sinon l'ensemble des matrices diagonalisables a-t-il une structure de sous-espace vectoriel, ou groupe , ou anneau, ou algèbre...?
$$\pmatrix{1&0\\0&0}\, \pmatrix{0&1\\0&1}=\pmatrix{0&1\\0&0}$$
Je te laisse analyser les égalités que j'ai écrites du point de vue de la diagonalisabilité.
Et comme vous avez l'air un peu sadiques...
Par ailleurs les matrices diagonalisables ne forment pas un groupe, selon l'argument que sinon ça se saurait :-D
Et les matrices nilpotentes ? je suis inquiet à leur sujet ?
Est-ce que la somme de deux matrices nilpotentes est nilpotente ? Non : tu peux chercher un contre-exemple en dimension $2$.
Est-ce que le produit de deux matrices nilpotentes est nilpotente ? Non : tu peux chercher un contre-exemple en dimension $2$.
Est-ce que toute matrice nilpotente admet une racine carrée ? Bonne question que tu pourras résoudre si tu connais la décomposition de Jordan.
$P^{-1}M^2P=D$
$(P^{-1}MP)(P^{-1}MP)=D$
On pose $N=P^{-1}MP$.
On est ramené à résoudre $N^2=D$.
Vous pouvez déjà regarder ce qui se passe lorsque $N$ est une matrice carrée d'ordre 2.
Halte au feu !
Regarder les ordres de nilpotence permet de dire des choses.
e.v.
e.v.
@ ev: cet exercice est encore pour moi un véritable gibet de nilpotence...
Soit $A$ une matrice nilpotente et $M$ une racine carrée de $A$.
Soit $r$ l'ordre de nilpotence de $A$, on a $M^{2r} = 0$.
On a bien deux ordres de nilpotence.
Je pense que tu as rattrapé le pluriel qui t'a échappé. Non ?
e.v.
Par examen de l'ordre de nilpotence, il est clair que\[\begin{pmatrix}0&1\\&0&1\\&&0&1\\&&&0\end{pmatrix}\]n'a pas de racine carrée.
Pour la deuxième question, plus précise, l'ordre de nilpotence ne suffit pas. Par exemple, les deux matrices suivantes ont le même ordre de nilpotence ; pourtant l'une admet une racine carrée, l'autre non [A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\&&0&1\\&&0&0\\&&&&0\\&&&&&0\end{pmatrix},\quad
B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\&&0&1\\&&0&0\\&&&&0&1\\&&&&0&0\end{pmatrix}.\]