Résoudre M²= A

C'est n'importe quoi à partir du moment où tu mets des exposants $1/2$, ça n'a pas de sens. Ce que tu peux chercher à montrer est que $M$ est diagonalisable dans une même base que $A$, et chercher quelle matrice diagonale convient. Spoiler : il y en a plusieurs.

Si ton cours ne dit pas que tu as le droit alors ne le fais pas ou prouve le.

N'utilise pas des notations que tu ne connais pas ou qui ne sont pas dans ton cours.

$$\pmatrix{1&0\\0&0}+ \pmatrix{0&1\\0&1}=\pmatrix{1&1\\0&1}$$
$$\pmatrix{1&0\\0&0}\, \pmatrix{0&1\\0&1}=\pmatrix{0&1\\0&0}$$

Il n'y a pas de h à la fin de mon pseudo.
Je te laisse analyser les égalités que j'ai écrites du point de vue de la diagonalisabilité.

On a $M^2=PDP^{-1}$ si et seulement si
$P^{-1}M^2P=D$
$(P^{-1}MP)(P^{-1}MP)=D$
On pose $N=P^{-1}MP$.
On est ramené à résoudre $N^2=D$.
Vous pouvez déjà regarder ce qui se passe lorsque $N$ est une matrice carrée d'ordre 2.

Çra perrmet dre tourt dirre ?

@ev : Dans « les ordres » de nilpotence, le pluriel m'échappe (sauf à considérer celui de la matrice et celui d'une racine carrée éventuelle). Mais comme on peut construire deux matrices qui ont le même ordre de nilpotence, l'une étant un carré, l'autre non, ça me rend perplexe.

OK, j'ai compris : j'ai posé la question « est-ce que toute matrice nilpotente admet une racine carrée » et répondu à « est-ce qu'une matrice donnée admet... ? » Comme quoi, lire l'énoncé, c'est utile même quand on l'écrit soi-même.

Par examen de l'ordre de nilpotence, il est clair que\[\begin{pmatrix}0&1\\&0&1\\&&0&1\\&&&0\end{pmatrix}\]n'a pas de racine carrée.

Pour la deuxième question, plus précise, l'ordre de nilpotence ne suffit pas. Par exemple, les deux matrices suivantes ont le même ordre de nilpotence ; pourtant l'une admet une racine carrée, l'autre non [A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\&&0&1\\&&0&0\\&&&&0\\&&&&&0\end{pmatrix},\quad
B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\&&0&1\\&&0&0\\&&&&0&1\\&&&&0&0\end{pmatrix}.\]