suite exacte

Question du même genre, peut-être plus simple : la même, en remplaçant $\Z/3\Z$ par $\R$ et les morphismes de groupes par des applications linéaires.

Comment décrire les applications linéaires de $\R$ dans $\R$ ?
Comment décrire les applications linéaires $\alpha$ de $\R$ dans $\R^2$ ?
Comment décrire les applications linéaires $\beta$ de $\R^2$ dans $\R$ ?
Pour quels couples $(\alpha,\beta)$ a-t-on un complexe ? (C'est quoi un complexe au fait ?)
Pour quels couples $(\alpha,\beta)$ est-ce que ce complexe est une suite exacte ? (C'est quoi une suite exacte au fait ?)


Constat : un morphisme de $\Z/3\Z$ dans un groupe (abélien) $G$ est déterminé par l'image de $1$, qui est un élément d'ordre $3$ ; tout élément d'ordre $3$ permet de définir un morphisme.
On peut aussi constater qu'un morphisme de groupes entre groupes de la forme $(\Z/3\Z)^d$, c'est la même chose qu'un morphisme d'espaces vectoriels sur le corps $\Z/3\Z$ (pourquoi ?).

Quels sont les morphismes de $\Z/3\Z$ dans $\Z/3\Z$ ?
Quels sont les morphismes $\alpha$ de $\Z/3\Z$ dans $(\Z/3\Z)^2$ ?
Quels sont les morphismes $\beta$ de $(\Z/3\Z)^2$ dans $\Z/3\Z$ ?
Quels sont les couples $(\alpha,\beta)$ qui définissent un complexe ?
Quels sont les couples $(\alpha,\beta)$ qui définissent une suite exacte ?

Il s'agit de morphismes de groupes abéliens.
Ce sont des groupes abéliens mais aussi des espaces vectoriels sur le corps $\Z/3\Z$.
Les morphismes sont aussi des applications linéaires.
L'application $\beta$ est définie par une matrice $(u\ v)$ avec $u\not=0$ ou $v\not=0$ ; il y a donc 8 surjections $\beta$ possibles.
Le noyau d'un tel $\beta$ est de dimension 1, donc il existe 2 bijections $\alpha$ de $\Z/3\Z$ sur ce noyau.
Finalement il y a $2\times 8 = 16$ suites exactes de ce type.

L'application $\beta$ est décrite dans ma réponse ci-dessus..