Groupe multiplicatif

L'énoncé est suspect. Pas la peine de calculer la classe de $3$ dans le groupe (additif) $\Z/17\Z$ pour en déduire que celui-ci est cyclique : il est engendré par $1$. Il doit donc s'agir du groupe multiplicatif de l'anneau $\Z/17\Z$, c'est-à-dire, puisque $17$ est premier, de $(\Z/17\Z)\setminus\{0\}$. Quand même, ne pas réussir à reproduire un énoncé en deux essais, il faut être distrait...

Il faut alors calculer, comme l'a dit gb ci-dessus, les puissances de (la classe de) $3$ modulo $17$. On s'arrête quand on tombe sur (la classe de) $1$. Ça commence comme ça (égalités modulo $17$) : $3^0=1$, $3^1=3$, $3^2=3\times3=9$, $3^3=3^2\times2=9\times3=27=10$, etc. Il est commode de faire un tableau.
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
k&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&\cdots\\\hline
3^k&1&3&9&10&\cdots\end{array}\]
NB : Vu la façon dont la question est posée (dans l'énoncé original, ça doit être : « en déduire que $(\Z/17\Z)^\times$ est cyclique »), on connaît la réponse avant de faire le moindre calcul, n'est-ce pas ? En effet, quel résultat pour l'ordre permettrait de montrer que ce groupe est cyclique ?

@GBZM : mais pour calculer cette puissance, ne faut-il pas en calculer quelques autres avant, par exemple en faisant une exponentiation rapide ?