Problème d'algèbre (filière économique)
dans Algèbre
Bonsoir à tous,
j'espère que vous allez bien. Dans le but de me préparer efficacement à mon concours j'essaye de faire quelques exercices et problèmes d'algèbres des années précédentes. Et en faisant l'un d'entre eux j'ai rencontré des petites difficultés. Il s'agit d'un problème EDHEC 2009, j'ai réussi à faire la moitié de l'exercice et je suis un peu perdue à partir de la question 2)a) ( Partie 2). À partir de cette question, je ne comprends plus vraiment l'exercice et j'ai du mal à y répondre. (Vous trouverez l'énoncé et mon travail sur cet exercice en pièce-jointe).
Voici mes petites questions.
- D'abord je n'ai pas compris ce que veux dire mathématiquement ou plutôt ce que entraîne la proposition suivante" Soit u un élément de ker(g- 6id) " ?
- Puis ils introduisent dans l'énoncé une fonction j(x), je ne vois pas son rapport avec ker (g- 6id), ni même comment montrer qu'elle est constante... Je n'ai pas la valeur du u, donc comment je fais ?
- Ensuite la question avec le vect(u1, U2), je n'ai pas compris non plus...
Vous voudriez bien m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Et belle soirée à tous.
PS. Dans le premier message, il y a une pièce jointe de 3 pages avec l'énoncé et 1 page de mon travail.
Et dans le deuxième message, il y a une pièce jointe de 4 pages avec uniquement des pages de mon travail.
j'espère que vous allez bien. Dans le but de me préparer efficacement à mon concours j'essaye de faire quelques exercices et problèmes d'algèbres des années précédentes. Et en faisant l'un d'entre eux j'ai rencontré des petites difficultés. Il s'agit d'un problème EDHEC 2009, j'ai réussi à faire la moitié de l'exercice et je suis un peu perdue à partir de la question 2)a) ( Partie 2). À partir de cette question, je ne comprends plus vraiment l'exercice et j'ai du mal à y répondre. (Vous trouverez l'énoncé et mon travail sur cet exercice en pièce-jointe).
Voici mes petites questions.
- D'abord je n'ai pas compris ce que veux dire mathématiquement ou plutôt ce que entraîne la proposition suivante" Soit u un élément de ker(g- 6id) " ?
- Puis ils introduisent dans l'énoncé une fonction j(x), je ne vois pas son rapport avec ker (g- 6id), ni même comment montrer qu'elle est constante... Je n'ai pas la valeur du u, donc comment je fais ?
- Ensuite la question avec le vect(u1, U2), je n'ai pas compris non plus...
Vous voudriez bien m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Et belle soirée à tous.
PS. Dans le premier message, il y a une pièce jointe de 3 pages avec l'énoncé et 1 page de mon travail.
Et dans le deuxième message, il y a une pièce jointe de 4 pages avec uniquement des pages de mon travail.
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Réponses
Pour ta première question, revois dans ton cours la définition du noyau : Si f est un endomorphisme de En c'est quoi ker(f) ? Si x est dans ker(f) qu'en déduit-on ?
Pour j, pas de problème. Il n'est pas nécessaire de connaître u (tu travailles avec des choses notées par des lettres depuis des années, non ?).
Enfin pour ta troisième question, revois ce que signifie "vect", puis traite les questions précédentes pour comprendre.
Cordialement
Nb : Si, après avoir revu le cours, et commencé à traiter la question, tu bloques encore, reviens en expliquant ce que tu as fait.
Aparté : si on pose $y=u'$, cette équation devient une équation différentielle du premier ordre simple : tu voudrais l'écrire ? tu saurais la résoudre ? Tu vois d'où vient $j$ ?
Pour résoudre la question, ce n'est pas difficile. Pour montrer que la fonction $j$ est constante, il suffit de la dériver et de montrer que la dérivée est nulle. Dériver $j$, c'est facile : c'est le produit de deux fonctions, l'une qu'on dérive en ajoutant un $'$ à celui qui est déjà là ($(u')'=u''$, quoi...) et l'autre qui est une exponentielle ultra-standard. Une fois la dérivée calculée, tu reconnaîtras l'équation de la question précédente. À toi !
Pour la dernière question de cette série, explicitons où on en est : il existe une constante $c$ telle que $u'(x)\mathrm{e}^{-5x}=c$ pour tout $x$, ce que l'on écrit : $u'(x)=c\mathrm{e}^{5x}$. Que peux-tu dire de $u$ ? Tu vois là deux constantes ($c$ et une autre) en facteur de deux fonctions, en lesquelles il faut reconnaître les vecteurs $u_1$ et $u_2$ de l'énoncé. (Encore une fois, les vecteurs de cet exercice sont des fonctions $\mathscr{C}^\infty$.)
Questions 1) et 2)
Tu sembles confondre $e_i$ (fonction polynomiale) et $e_i(t)$ réel correspondant à l'image du réel $t$ par $e_i$.
Les écritures $f(e_i(t))$ n'ont aucun sens...puisque $f$ n'est pas une fonction de la variable réelle !
Question 4) (a)
Tu commets une grave erreur de raisonnement.
Une matrice carrée d'ordre $3$ diagonalisable peut très bien n'avoir qu'une seule valeur propre: par exemple $I_3$ est diagonalisable en tant que matrice diagonale et ne possède que $1$ comme valeur propre...
Il faut que tu reprennes ton cours sur la diagonalisation.
Question 4) (b)
Pourquoi considérer $X$ non nul au début...pour obtenir en fin de compte un $Vect$ contenant le vecteur nul ?
Si tu as répondu à la question 3. a), c'est que tu sais ce que signifie le noyau d'une application linéaire, non ?
Écris ce que signifie $ker(g- 6id)$, par définition.
Tu vas alors pouvoir mettre en évidence une égalité liant $u''$, $u'$ et $u$.
Pour démontrer qu'une fonction est constante sur un intervalle de $\mathbb{R}$ donné, il suffit de montrer que cette fonction est dérivable sur cet intervalle de dérivée ...(à compléter)
Que signifie $Vect(u_1,u_2)$ ?
Comment montrer une égalité entre deux ensembles ?
Plus particulièrement, comment montrer un égalité de la forme $F = Vect(u_1,u_2)$ ?
Beaucoup de réponses aux questions que tu poses se trouvent dans ton cours !
merci pour votre aide, c'est très aimable de votre part ! Pour ker, j'ai compris, je m'étais un peu égarée.. et vect veut dire famille, ainsi vect( u1, U2) signifie famille constitué des éléments U1, U2 si je ne me trompe, merci !!
Bonsoir Mathcross,
Un grand merci pour cette réponse détaillée, c'est gentil ! Si je complète vos pointillées alors g(u) = 6u et cela veut donc dire que u^''-5u' =0. Et pour le J je viens de comprendre ! Mais oui, vous avez raison, il suffit de dériver avec les formules de dérivations usuelles comment je le fais d'habitude pour un produit. Un grand merci !!!
Non. Il faut que tu reprennes le début du cours d'algèbre linéaire !
Merci à vous aussi pour ce petit compte rendu de mon exercice. C'est très aimable de votre part.
Donc, il faut que je change les notations pour la question 1.
Pour la question 4)A) Vous avez raison, j'aurais dû préciser que la dimension du sous-espace propre est aussi différente de 3. Dit comme ça, c'est incomplet ce que j'ai écrit. Car une matrice matrice peut avoir une seule Valeur propre mais un sous-espace propre de même dimension que sa taille. Super , merci beaucoup !
Ensuite question 4)b), je n'ai pas trouvé le vecteur nul, mais plutôt le vecteur colonne ( 1, 0,0), mais ça aussi je pense que c'est sûrement une bêtise de ma part et que vous avez sûrement raison..!
Donc bilan, je dois revoir la question 1) et 4)a) et 4)b). S'il y a d'autre erreurs n'hésitez pas à me le dire ! Vos conseils sont les bienvenus !
- Et pour répondre à votre question, pour montrer que deux ensemble son égaux, on peut faire un raisonnement par double inclusion, montrer que F est inclus dans Vect( U1, U2) et ensuite que Vect (U1, U2) est inclus dans F, que tout les éléments de F sont des éléments de Vect (U1, U2) et ensuite que tout les éléments de Vect ( U1, U2) sont des éléments de F, c'est ce que j'avais vu en 1 er année me semble-t-il.. C'est cela qu'il faut faire s'il vous plaît ?
Oh mais oui, vous avez raison pour la notation vect, décidément aujourd'hui, je suis vraiment fatiguée ! Je fais de l'algèbre depuis 5h00 du matin..!
La notation vect,, que j'utilise chaque jour, c'est la définition de sous-espace vectoriel engendré, ohlala mon professeur de 1er année ne va pas être content, quand il va lire le message sur le vect....D'ailleurs cette notation "vect" était quelque chose qu'il avait accentué en disant que beaucoup allait dire en colle que vect veut dire vecteur et moi même il m'avait tendu le piège en colle en me demandant sa signification .... enfin bref merci pour votre aide Bbidule !