Partie réelle et imaginaire nombre complexe
dans Algèbre
Bonjour à tous, j'aurais besoin d'aide pour un calcul que je n'arrive pas à faire.
Dans le cas d'un exercice de mon devoir maison de maths que j'ai à faire pour la semaine prochaine, je dois calculer la partie réelle et imaginaire d'un nombre mais je n'y arrive pas.
Ce nombre est le suivant : 2/(1- e^(i*pi/5)).
Si quelqu'un pouvait me donner un coup de main, cela m'aiderait énormément.
Je vous remercie d'avance pour votre aide et votre temps accordé !!
Dans le cas d'un exercice de mon devoir maison de maths que j'ai à faire pour la semaine prochaine, je dois calculer la partie réelle et imaginaire d'un nombre mais je n'y arrive pas.
Ce nombre est le suivant : 2/(1- e^(i*pi/5)).
Si quelqu'un pouvait me donner un coup de main, cela m'aiderait énormément.
Je vous remercie d'avance pour votre aide et votre temps accordé !!
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Réponses
C'est un truc connu sous ne nom de méthode de l'angle moitié.
Tu mets en facteur \( \exp\left( \frac{i\pi}{10} \right) \) au dénominateur.
amicalement,
e.v.
Juste petite question pourquoi mettre e^(ipi/10) en facteur alors que je suis avec des angles en pi/5 ???
J'ai du mal a comprendre. Peut être un petit exemple pourrait m'aider si tu aurais stp ??
Mettre en facteur, y compris ce qui n'y est pas, est synonyme de diviser.
Exemple: $a+b+c=toto\times\left(\dfrac{a}{toto}+\dfrac{b}{toto}+\dfrac{c}{toto}\right)$.
Cordialement,
Rescassol
PS: Bien vu, Amathoué :-D
L'autre réponse, c'est que ça marche.
Sinon, tu as toujours la possibilité d'écrire
\[ \dfrac2{1-\exp(i\frac\pi5)} = \dfrac2{1-\cos(\frac\pi5)-i\sin(\frac\pi5)} = 2\dfrac{1-\cos(\frac\pi5)+i\sin(\frac\pi5)}{(1-\cos(\frac\pi5)-i\sin(\frac\pi5))(1-\cos(\frac\pi5)+i\sin(\frac\pi5))} = \ldots \]
e.v.
Toto le zero ne serait pas très heureux de lire ça.
À part que la factorisation de l'angle moitié marche parce qu'il est classique que ça va marcher, c'est parce qu'il est question de bissectrice (où on couple des angles en deux). En effet, géométriquement, c'est facile de calculer l'argument de $1-\mathrm{e}^{i\pi/5}$.
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'affixe $1$, $B$ est le point d'affixe $\mathrm{e}^{i\pi/5}$ et $C$ est celui d'affixe $-\mathrm{e}^{i\pi/5}$ donc par la règle du parallélogramme, $D$ a pour affixe $1-\mathrm{e}^{i\pi/5}$. Comme $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CD}$ et que de plus les longueurs $OA$ et $OC$ sont égales, le quadrilatère $OADC$ est un losange donc la diagonale $(OD)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{AOC}$. Comme l'argument de $A$ est $0$ et celui de $C$ est $\frac\pi5+\pi$, ou bien $\frac\pi5-\pi=-\frac{4\pi}{5}$, l'argument de $D$ vaut $-\frac{2\pi}5$.
Si tu pouvais éviter d'employer encore un conditionnel après « si », ça serait très classe.
Edit : j'avais oublié la figure !
Petite question pour la méthode géométrique. Une fois que j'ai l'argument de D que faire ??
Puis j'ai bien essayé de faire le calcul qui a été proposé par ev mais comment continuer le calcul pour pouvoir avoir un dénominateur uniquement réel à partir de
2*(1-cos(pi/5)+i*sin(pi/5))/((1-cos(pi/5)-i*sin(pi/5))*(1-cos(pi/5)+i*sin(pi/5)).
Désolé j'ai un peu de mal avec les complexes comme vous pouvez le voir je pense....
Merci pour votre patience et vos explications
Dans le cas de ton dénominateur,
\[ \left(1-\cos\left(\frac\pi5\right)-i\sin\left(\frac\pi5\right)\right)\left(1-\cos\left(\frac\pi5\right)+i \sin\left(\frac\pi5\right)\right) =
\left(1-\cos\left(\frac\pi5\right)\right)^2 + \sin^2\left(\frac\pi5\right) = \ldots \]
e.v.
Je fais le calcul puis je mets le résultat que je trouve pour savoir si ce que j'ai fait est bon et avoir ton avis si ça ne te dérange pas !!
Partie réelle =1
Partie Imaginaire = i*((sin(pi/5)/(1-cos(pi/5))
(que je pense ne plus pouvoir simplifier)
e.v.
Je vous remercie énormément pour votre aide et vous souhaite une bonne soirée
pour terminer le travail de ev tu peux expliciter ton nombre complexe : $$
z = 1 + \frac{i}{\tan\frac{\pi}{10}}
$$ or, $$
\frac{1}{\tan\frac{\pi}{10}}=\frac{\cos\frac{\pi}{10}}{\sin\frac{\pi}{10}}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{5}}{1-\cos\frac{\pi}{5}}},\qquad\text{avec}\qquad \cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}
$$ On trouve finalement $$z = 1 + i\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}
$$ Cordialement.
[Ne pas abuser des expressions centrées ! AD]
Merci beaucoup pour ce fil qui permet de bien avancer quand on est perdu par les complexes.
Est-ce une explication de la même veine qui permet de montrer que les deux fonctions dans les dessins ci-dessous semblent identiques ? ($f(z)=\overline{f(\overline{z})}$)
Cordialement,
Diane Levels