Partie réelle et imaginaire nombre complexe

Bonjour Aurelilili et bienvenue.

C'est un truc connu sous ne nom de méthode de l'angle moitié.

Tu mets en facteur \( \exp\left( \frac{i\pi}{10} \right) \) au dénominateur.

amicalement,

e.v.

Parce que c'est la méthode de l'angle moitié et que \(\frac\pi{10} \) c'est la moitié de \(\frac\pi{5} \).

L'autre réponse, c'est que ça marche.

Sinon, tu as toujours la possibilité d'écrire
\[ \dfrac2{1-\exp(i\frac\pi5)} = \dfrac2{1-\cos(\frac\pi5)-i\sin(\frac\pi5)} = 2\dfrac{1-\cos(\frac\pi5)+i\sin(\frac\pi5)}{(1-\cos(\frac\pi5)-i\sin(\frac\pi5))(1-\cos(\frac\pi5)+i\sin(\frac\pi5))} = \ldots \]

e.v.

On veut calculer le quotient donc il serait bien commode de connaître le module et l'argument du dénominateur $1-\mathrm{e}^{i\pi/5}$.

À part que la factorisation de l'angle moitié marche parce qu'il est classique que ça va marcher, c'est parce qu'il est question de bissectrice (où on couple des angles en deux). En effet, géométriquement, c'est facile de calculer l'argument de $1-\mathrm{e}^{i\pi/5}$.

Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'affixe $1$, $B$ est le point d'affixe $\mathrm{e}^{i\pi/5}$ et $C$ est celui d'affixe $-\mathrm{e}^{i\pi/5}$ donc par la règle du parallélogramme, $D$ a pour affixe $1-\mathrm{e}^{i\pi/5}$. Comme $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CD}$ et que de plus les longueurs $OA$ et $OC$ sont égales, le quadrilatère $OADC$ est un losange donc la diagonale $(OD)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{AOC}$. Comme l'argument de $A$ est $0$ et celui de $C$ est $\frac\pi5+\pi$, ou bien $\frac\pi5-\pi=-\frac{4\pi}{5}$, l'argument de $D$ vaut $-\frac{2\pi}5$.

Si tu pouvais éviter d'employer encore un conditionnel après « si », ça serait très classe.

Edit : j'avais oublié la figure !

Quand tu multiplies un complexe par son conjugué, tu obtiens un réel.
Dans le cas de ton dénominateur,
\[ \left(1-\cos\left(\frac\pi5\right)-i\sin\left(\frac\pi5\right)\right)\left(1-\cos\left(\frac\pi5\right)+i \sin\left(\frac\pi5\right)\right) =
\left(1-\cos\left(\frac\pi5\right)\right)^2 + \sin^2\left(\frac\pi5\right) = \ldots \]

e.v.

Oui, mais tu peux simplifier (?) en \( \text{cotan} \, (\frac\pi{10}) \).

e.v.

Bonjour,
pour terminer le travail de ev tu peux expliciter ton nombre complexe : $$
z = 1 + \frac{i}{\tan\frac{\pi}{10}}
$$ or, $$
\frac{1}{\tan\frac{\pi}{10}}=\frac{\cos\frac{\pi}{10}}{\sin\frac{\pi}{10}}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{5}}{1-\cos\frac{\pi}{5}}},\qquad\text{avec}\qquad \cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}
$$ On trouve finalement $$z = 1 + i\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}
$$ Cordialement.

[Ne pas abuser des expressions centrées ! AD]