Projection sur Im(P) parallèlement à Ker(P)

Bonjour,

a) Soit $E$ un espace vectoriel et $P : E \rightarrow E$ une application linéaire telle que $P^2 = P$.
Montrer que $KerP$ et $ImP$ sont supplémentaires et que $P$ est la projection sur $ImP$ parallèlement à $KerP$.

Pour la première partie de la question, j'ai d'abord voulu montrer que $KerP \cap ImP = \{0\}$.
Soit $y \in KerP \cap ImP $. On a $y \in ImP$ donc $\exists x \in E, y=P(x)$. De plus $y \in KerP$ donc $P(y)=0$. On a donc $P(y)=P^2(x)=P(x)=0$ d'où $y=P(x)=0$.

Pour montrer leur supplémentarité, j'ai décomposé $x \in E$ par $x = x-P(x)+P(x)$ avec $x-P(x) \in KerP$ et $P(x) \in ImP$.

Je ne vois pas trop comment montrer que $P$ est la projection sur $ImP$.
Par définition, la projection de $ImP$ parallèlement à $KerP$ est $P : ImP+KerP \rightarrow E$ définie par $x'+x'' \rightarrow x'$ avec $x' \in ImP$ et $x'' \in KerP$, on l'a déjà montré précédemment non ?

C'est ambiguë, je me mélange sûrement les pinceaux, mais je ne comprends pas trop la définition de projection orthogonale dans ce contexte... Quelqu'un pourrait m'aider à y voir plus clair ?