Projection sur Im(P) parallèlement à Ker(P)
dans Algèbre
Bonjour,
a) Soit $E$ un espace vectoriel et $P : E \rightarrow E$ une application linéaire telle que $P^2 = P$.
Montrer que $KerP$ et $ImP$ sont supplémentaires et que $P$ est la projection sur $ImP$ parallèlement à $KerP$.
Pour la première partie de la question, j'ai d'abord voulu montrer que $KerP \cap ImP = \{0\}$.
Soit $y \in KerP \cap ImP $. On a $y \in ImP$ donc $\exists x \in E, y=P(x)$. De plus $y \in KerP$ donc $P(y)=0$. On a donc $P(y)=P^2(x)=P(x)=0$ d'où $y=P(x)=0$.
Pour montrer leur supplémentarité, j'ai décomposé $x \in E$ par $x = x-P(x)+P(x)$ avec $x-P(x) \in KerP$ et $P(x) \in ImP$.
Je ne vois pas trop comment montrer que $P$ est la projection sur $ImP$.
Par définition, la projection de $ImP$ parallèlement à $KerP$ est $P : ImP+KerP \rightarrow E$ définie par $x'+x'' \rightarrow x'$ avec $x' \in ImP$ et $x'' \in KerP$, on l'a déjà montré précédemment non ?
C'est ambiguë, je me mélange sûrement les pinceaux, mais je ne comprends pas trop la définition de projection orthogonale dans ce contexte... Quelqu'un pourrait m'aider à y voir plus clair ?
a) Soit $E$ un espace vectoriel et $P : E \rightarrow E$ une application linéaire telle que $P^2 = P$.
Montrer que $KerP$ et $ImP$ sont supplémentaires et que $P$ est la projection sur $ImP$ parallèlement à $KerP$.
Pour la première partie de la question, j'ai d'abord voulu montrer que $KerP \cap ImP = \{0\}$.
Soit $y \in KerP \cap ImP $. On a $y \in ImP$ donc $\exists x \in E, y=P(x)$. De plus $y \in KerP$ donc $P(y)=0$. On a donc $P(y)=P^2(x)=P(x)=0$ d'où $y=P(x)=0$.
Pour montrer leur supplémentarité, j'ai décomposé $x \in E$ par $x = x-P(x)+P(x)$ avec $x-P(x) \in KerP$ et $P(x) \in ImP$.
Je ne vois pas trop comment montrer que $P$ est la projection sur $ImP$.
Par définition, la projection de $ImP$ parallèlement à $KerP$ est $P : ImP+KerP \rightarrow E$ définie par $x'+x'' \rightarrow x'$ avec $x' \in ImP$ et $x'' \in KerP$, on l'a déjà montré précédemment non ?
C'est ambiguë, je me mélange sûrement les pinceaux, mais je ne comprends pas trop la définition de projection orthogonale dans ce contexte... Quelqu'un pourrait m'aider à y voir plus clair ?
Réponses
-
Pourquoi parles-tu de projection orthogonale ?
Tu aurais pu partir en "analyse-synthèse" : soit $x\in E$, et supposons qu'on a une décomposition $x=y+z$ avec $y\in \ker P$ et $z\in \mathop{\mathrm{im}} P$ ; alors ... -
Pardon, de "projection".
En décomposant $x=y+z$ avec $y \in KerP$ et $z \in ImP$, a-t-on simplement :
$y \in KerP$ donc $P(y)=0$.
$z \in ImP$ donc $x\in E, P(x)=z$.
$z = P(x) = P(y+z)$ ce qui montre que $P$ est la projection de $ImP$ parallèlement à $KerP$ ? Je me suis en effet pris la tête pour rien... ! (Edit : la première ligne est inutile mais je la laisse quand même)
Merci ! -
Non, tu vas trop vite en besogne.
On a $z\in \mathop{\mathrm{im}} P$, donc il existe $t\in E$ tel que $z=P(t)$. Ensuite, tu peux en déduire $z=P(x)$ (et donc $y=x-P(x)$. Ça, c'est la partie "analyse" (qui montre, en passant, l'unicité de la décomposition). Reste la partie "synthèse" (qui vérifie l'existence de la décomposition).
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