Les morphismes de groupes

khadijamed a écrit:

f(X+X+X+X+X)=f(x)+f(x)+f(x)+f(x)+f(x)=5f(1)=0

donc f(0)=0 MAIS COMMENT CALCULER f(classe 1) ?

Je relis ça après avoir dormi : toutes les égalités sont vraies mais le raisonnement n'est pas valide. Ce que tu sembles faire, c'est utiliser l'égalité $5f(1)=0$, que tu ne justifies pas, pour en déduire que $f(0)=0$, qui est une propriété de base de n'importe quel morphisme (en effet, $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ donc $f(0)=0$). Bref, tu fais les choses à l'envers.

Soit $x\in \Z/5\Z$. Sachant que $x+x+x+x+x=0$, on a d'une part : $f(x+x+x+x+x)=f(0)=0$ d'après la propriété précédente. D'autre part, $f(x+x+x+x+x)=f(x)+f(x)+f(x)+f(x)+f(x)=5f(x)$. En particulier, $5f(1)=0$. On en déduit que $f(1)=0$ parce que si $y$ est un entier dont la classe modulo $7$ est $f(1)$, l'égalité $5f(1)=0$ s'écrit : $5y\equiv0\pmod 7$ et donc $7$ divise $5y$. Il faut un argument pour conclure que $7$ divise $y$, c'est-à-dire $f(1)=0$ : le vois-tu ? Enfin, si $f(1)=0$, alors $f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=0+0=0$, etc., de sorte que $f$ est le morphisme nul ($f(x)=0$ pour tout $x$).

Ça, c'était une réponse qui n'utilise que les définitions de groupe et de morphisme. Avec un peu plus de théorie on peut utiliser la notion d'ordre et le théorème de Lagrange évoqués par GG pour en arriver à la même conclusion.