Dimension de C comme R espace vectoriel

Eh bien, tu n'as qu'à montrer que ton espace est de dimension finie, c'est-à-dire qu'il admet une famille génératrice finie : est-ce que tu en vois une ? Alors tu peux appliquer la définition de dimension que tu as en tête, qui repose sur un théorème : dans un espace vectoriel qui admet une famille génératrice finie, deux bases quelconques ont le même nombre d'éléments.

Une remarque : il y a une espèce de cercle vicieux apparent dans cette construction mais il n'est vraiment qu'apparent. Il consiste à définir « espace de dimension finie » avant de définir la dimension d'un espace. Pour écarter cette impression désagréable, il suffit d'appeler « espace de type fini » un espace vectoriel qui admet une famille génératrice finie. On montre alors la propriété d'échange de Steinitz : si on a une famille libre à $m$ vecteurs et une famille génératrice à $n$ vecteurs, alors $m\le n$. L'invariance du cardinal des bases en résulte facilement. Il ne reste plus qu'à prouver l'existence d'une base pour s'assurer qu'on ne parle pas dans le vide, c'est le rôle du théorème de la base incomplète.

En fait, le théorème sur l'invariance du cardinal des bases est vrai en toute généralité (sous l'axiome du choix) : tout espace vectoriel admet au moins une base et deux bases quelconques ont le même cardinal. Tes scrupules n'auraient pas lieu d'être, même si tu manipulais des espaces de dimension infinie.