Dualité et symétrie

Bonjour,

J'ai un question à laquelle j'aimerais obtenir une réponse aussi générale que possible. Soit un espace E tel que pour tout élément $ x $ de $ E $ il existe un unique élément $ \bar{x} $ de $ E $ où $ x\mapsto\bar{x} $ est une involution telle que $ Aut(x)=Aut(\bar{x}) $ . Si $ \Delta $ est un élément auto-dual de $ E $, donc tel que $ \Delta=\bar{\Delta} $, a-t-on nécessairement $ \vert Aut(\Delta)\vert >\vert Aut(x)\vert $ où $ x $ est tel que $ Aut(x) $ est un sous-groupe de $ Aut(\Delta) $?

Un exemple : dans le plan le rectangle et le losange obtenu en reliant les milieux des côtés du rectangle sont duaux l'un de l'autre, et ont le groupe de Klein comme groupe de symétrie, donc comme groupe d'automorphismes du plan euclidien. Le carré vu comme rectangle et losange est autodual et son groupe de symétrie est d'ordre 8. J'aimerais savoir si ce phénomène est général.

Merci d'avance.