Dualité et symétrie
Bonjour,
J'ai un question à laquelle j'aimerais obtenir une réponse aussi générale que possible. Soit un espace E tel que pour tout élément $ x $ de $ E $ il existe un unique élément $ \bar{x} $ de $ E $ où $ x\mapsto\bar{x} $ est une involution telle que $ Aut(x)=Aut(\bar{x}) $ . Si $ \Delta $ est un élément auto-dual de $ E $, donc tel que $ \Delta=\bar{\Delta} $, a-t-on nécessairement $ \vert Aut(\Delta)\vert >\vert Aut(x)\vert $ où $ x $ est tel que $ Aut(x) $ est un sous-groupe de $ Aut(\Delta) $?
Un exemple : dans le plan le rectangle et le losange obtenu en reliant les milieux des côtés du rectangle sont duaux l'un de l'autre, et ont le groupe de Klein comme groupe de symétrie, donc comme groupe d'automorphismes du plan euclidien. Le carré vu comme rectangle et losange est autodual et son groupe de symétrie est d'ordre 8. J'aimerais savoir si ce phénomène est général.
Merci d'avance.
J'ai un question à laquelle j'aimerais obtenir une réponse aussi générale que possible. Soit un espace E tel que pour tout élément $ x $ de $ E $ il existe un unique élément $ \bar{x} $ de $ E $ où $ x\mapsto\bar{x} $ est une involution telle que $ Aut(x)=Aut(\bar{x}) $ . Si $ \Delta $ est un élément auto-dual de $ E $, donc tel que $ \Delta=\bar{\Delta} $, a-t-on nécessairement $ \vert Aut(\Delta)\vert >\vert Aut(x)\vert $ où $ x $ est tel que $ Aut(x) $ est un sous-groupe de $ Aut(\Delta) $?
Un exemple : dans le plan le rectangle et le losange obtenu en reliant les milieux des côtés du rectangle sont duaux l'un de l'autre, et ont le groupe de Klein comme groupe de symétrie, donc comme groupe d'automorphismes du plan euclidien. Le carré vu comme rectangle et losange est autodual et son groupe de symétrie est d'ordre 8. J'aimerais savoir si ce phénomène est général.
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Réponses
Mais avec ces spécifications, la réponse est "évidemment non" dans le cas général; même en acceptant que "$Aut(x)$ est un sous-groupe de $Aut(\Delta)$" signifie "les deux sont des groupes et le premier se plonge dans le second". Je te laisse voir pourquoi c'est "évidemment non".
Mais surtout ton exemple ne correspond pas vraiment à la question que tu as posée :-S