Produit scalaire, primitive, dérivée

Bonjour,

Pour $f$ et $g$ de classe $C^1$ de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$, on définit $(f,g) = f(0) g(0) + \int_0^1 f'(t) g'(t) dt$.

Je dois montrer que c'est un produit scalaire sur le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $C^1([0,1],\mathbb{R})$.

Pour la bilinéarité, j'ai pas de souci à montrer que $(f,g + \lambda g) = (f,g) + \lambda (f,h)$ et que $(f+\lambda g,h) = (f,h) + \lambda (g,h)$.
La symétrie est aussi immédiate.

Mais j'ai un problème pour la positivité et la "définition".
$(f,f) = f(0)^2 + \int_0^1 f'(t)^2 dt$. Evidemment $f(0)^2 \geq 0$ et $f'(t)^2 \geq 0$.
En fait j'ai un problème avec l'intégrale $\int_0^1 f'(t)^2 dt$, comme elle dépend de $f',$ j'imagine qu'il y a un moyen d'écrire cette primitive en fonction de $f$ ?

J'ai fait :
Soit $P(t)$ une primitive de $f'(t)^2$.
$\int_0^1 f'(t)^2 dt = P(1)-P(0)$. Comme $f'(t)^2$ est continue et positive sur [0,1], alors P(t) est croissante et $P(0) \leq P(1)$ ce qui implique la positivité de l'intégrale et donc de $(f,f)$.

Ensuite comme $f(0)^2$ et l'intégrale sont positives, alors $(f,f)=0$ implique $P(0)=P(1)$ mais comme P est croissante, alors elle est constante sur [0,1] et $f'(t)^2 =0$ (ainsi que $f(0)^2=0$) mais ceci ne dit en rien que $f=0$...

Bref j'ai l'impression de me perdre bien comme il faut, existe-t-il une façon plus "propre" que P pour désigner une primitive de $f'^2$ ? J'imagine que c'est simple mais je vois pas du tout...
Une primitive de $f'$ serait $f$ mais là je bloque, je crois qu'une pause s'impose...

Merci d'avance...