Exercice d'algèbre 2010

Blueberry19
Blueberry19
dans Algèbre
Bonsoir à tous,


j'espère que vous allez bien. En ce moment, je suis en train de traiter un exercice de concours, ( filière économique), et il y a deux petites questions pour lesquelles j'ai du mal. L'énoncé est en pièce-jointe ainsi que mon travail sur les questions précédentes ( au cas où les questions sont dépendantes).
Voici mes questions,
1) Je comprends comment déduire, ou plutôt parvenir à l'égalité de la question 4, partie II. J'imagine qu'elle a un lien avec la question 3, mais je n'arrive pas à le saisir. ( D'ailleurs pour la question 3, j'ai fait par rapport aux matrices et en les multipliant obtenu la matrice nulle, y-avait-il un autre moyen de répondre à cette question ? )
2) Pareils pour la question 5 partie II, je ne vois pas ce qui me permettrait d'établir l'égalité de la question 5.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Belle soirée à tous.

Réponses

  • Blueberry19
    Blueberry19
    La suite de mon travail
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Si tu développes la formule de la question II.3, tu vas obtenir une nouvelle relation sur \(D\)
    Comme \(M=PDP^{-1}\), tu peux calculer \(M^3\) en fonction de \(D\), et utiliser la relation précédente pour conclure.

    Quant à la question 5, c'est une égalité d'applications définies sur \(\mathcal{S}_2\).
    Tu dois donc calculer \(u^3(S)\) pour toute matrice symétrique \(S\) d'ordre 2.
  • Dom
    Dom
    Je n'ai pas fait le boulot mais si on développe le produit de la question 3 partie II (calcul littéral) n'obtient-on pas une expression qui fait penser à la 4 partie II ?

    Ensuite, si ça marche, je pense qu'en introduisant l'égalité 2 partie II, ça doit bien aller.
  • Blueberry19
    Blueberry19
    Bonsoir gb et Dom,

    merci beaucoup pour votre aide , c'est très aimable de votre part !
    Pour la question 3) C'est vrai que je n'avais pas pensé à développer, j'avais calculer par rapport aux matrice.
    Donc si je développe, cela me donne D^3+13D^2+52D-64I. Vous aviez raison Dom, cela rappelle l'expression de la question 4 partie II.
    D'après la question 2), on sait effectivement que M= PDP^-1, donc D= P^-1MP
    Mais ensuite, je n'ai pas vraiment compris, il faut que je remplace mon D, par l'expression en rose ? C'est cela s'il vous plaît ?
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Oui, cela permet de transformer l'expression \(D^3+13D^2+52D-64I\) avec \(D\) en une expression avec \(M\) qui, on l'espère, est celle que tu veux obtenir.
  • Dom
    Dom
    À ton service ;-)

    Pendant qu'on y est, @BlueBerry19, essaye d'entourer tes expressions mathématiques avec le symbole "dollar".

    PDP^-1 devient $PDP^-1$ (On observe une erreur : le 1 devrait être dans la puissance).

    Il suffit de corriger ensuite : mettre des accolades autour du "-1" : PDP^{-1}

    On obtient : $PDP^{-1}$.

    Je dis cela sans critiquer, bien sûr.
    Je crois seulement que s'y mettre assez vite est une bonne chose.

    Dans ce domaine, je suis débutant d'ailleurs.
  • Blueberry19
    Blueberry19
    Rebonsoir gb,

    encore merci pour aide :) !

    Donc si je remplace D par l'expression de D que j'ai énoncé dans le précédent message, j'obtiens donc
    P^-1MP*P^-1MP*P^-1MP + 13*P^-1MP*P^-1MP+ 52P^-1MP- 64I
    Ce qui me donne ensuite,

    =P^-1MMMP+13P^-1MMP+ 52P^-1MP- 64I
    =P^-1*M^3*P +13P^-1*M^2*P+52P^-1MP- 64I
    Ensuite, il faut que je factorise par P^-1 d'un côté et P à droite.
    En factorisant j'obtiens donc = M^3+13M^2+52M-64I
    Sauf que si je fais passer la moitié de l'expression de l'autre côté j'obtiens M^3= - 13M^2 -52M + 64I...
    Et ce n'est pas l'expression qu'ils veulent dans la question 4, les signes ne sont pas les mêmes.. Ai-je fais une erreur de raisonnement quelque part s'il vous plaît ?
  • Blueberry19
    Blueberry19
    Bonsoir Dom,


    merci pour cette petite leçon d'écriture mathématiques :) . Ne vous inquiétez pas je ne le prends pas mal, au contraire je viens d'apprendre quelque chose, je me demandais toujours comment faisaient les autres utilisateurs pour écrire en langage mathématiques.
  • Dom
    Dom
    N'as-tu pas oublié un "=" dans tous tes calculs ? (tu dis "je remplace" ... mais dans quoi ?)

    Sinon, est une des méthodes en effet.
  • Blueberry19
    Blueberry19
    C'est bon c'est corrigé, mais l'expression obtenue n'a pas les mêmes signes que celle du sujet....Donc je me demandais si j'avais fait une erreur de raisonnement...
  • Dom
    Dom
    Ok.
    Je me fais mal comprendre :

    Tu écris cela : P^-1MP*P^-1MP*P^-1MP + 13*P^-1MP*P^-1MP+ 52P^-1MP- 64I

    Mais es-tu sûre que cette expression vient du sujet ?
    N'as-tu pas oublié un bout ?
  • Blueberry19
    Blueberry19
    Bonsoir Dom,
    Oui vous avez raison, je l'ai refais au brouillon après le dîner et c'est bon j'ai trouvé l'égalité de l'énoncé,.
    Merci beaucoup,
    Et bonne soirée à vous !74688
  • Dom
    Dom
    Ok.
    Si quelqu'un ne regarde pas le sujet mais uniquement cette correction, alors il sera d'accord sur la totalité, sauf sur le dernier "donc" qui lui semblera incompréhensible.

    Il manque l'information que le premier produit (toute première ligne, membre de gauche) est nul.

    Sans cela, "passer des termes de l'autre côté" n'a aucun sens.

    C'est cela qui manquait selon moi dans tes messages.

    En gros, tu travaillais avec des égalités et pas seulement sur des expressions "seules".

    J'espère ne pas être trop confus...
  • Blueberry19
    Blueberry19
    Oh mais oui c'est vrai !!! Pour le faire passer de l'autre côté il faut écrire que l'expression de gauche =0 .
    Merci de me l'avoir fait remarquer :) ! Car sans cela, mon travail ne veut rien dire...ohlala il faudra que je fasse attention à l'avenir. Merci !
  • moduloP
    moduloP
    Salut,

    Je ne comprends pas la ligne "-3" de ta dernière image : lorsque tu sembles multiplier par $P^{-1}$ à gauche et par $P$ à droite.
  • Blueberry19
    Blueberry19
    Salut moduloP :) ,


    j'ai fait cela pour isoler l'expression avec les M. Comme on a vu en cours que $PP^{-1}$ $=I$ Alors j'ai pensé à multiplier par $P$ et $P^{-1}$ . Ce n'était pas ce qu'il fallait faire...?
  • moduloP
    moduloP
    Avec la rédaction que tu proposes, je pense qu'un correcteur doit enlever des points car ce n'est pas très clair ce que tu as écrit.

    Tu démontres que si : $PDP^{-1} = M$ alors $D^3-13D^2-5D+64\text{Id} = P^{-1} (M^3-13M^2-5M+64\text{Id}) P$.

    Ensuite, tu sembles dire que : $$P^{-1} (M^3-13M^2-5M+64\text{Id}) P \overset{?}{=} P P^{-1} (M^3-13M^2-5M+64\text{Id}) P P^{-1}
    $$ C'est bien ce que tu voulais dire ? Est-ce que tu peux expliquer le $\overset{?}{=}$ ?
  • Blueberry19
    Blueberry19
    Bonjour ModuloP,

    Oui pour la rédaction j'ai précisé plus haut que c'était un petit "brouillon" et nous avions discuté avec un autre utilisateur (plus haut aussi ) que , comme je n'ai pas écris que l'expression est égal à 0 dans mon brouillon cela peut porter confusion.
    J'aurais dû l'écrire de la sorte :
    $P$$P^{-1}$ ( $M^3-13M^2-5M+64Id$) $P$$P^{-1}$= $P$$0$$P^{-1}$
    Pour ensuite obtenir,
    $M^3-13M^2-5M+64Id$= $0$
    Voilà voilà :-)
  • moduloP
    moduloP
    D'accord oui c'est super comme ça ;)
  • Dom
    Dom
    Bonne remarque, merci @moduloP, cela m'avait effectivement échappé.
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