Irréductible mais non premier
Réponses
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Il me semble que le quotient de $R$ par l'idéal engendré par $x^2$ est un corps $k$; donc l'idéal est premier.
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Il te semble à tort. Est-ce que $x^3$ appartient à l'idéal engendré par $x^2$ ?
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Effectivement, $x^3$ n'est pas égal à $x^2 (a+x^2 p(x))$ j'ai confondu l'idéal dans $R$ et l'idéal dans $k[X]$...Désolé. L'idéal n'est pas premier car $(x^2 (1+x))(x^2(1-x) ) = x^2 (x^2(1-x^2))$
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@Apollonius, je n'ai pas compris votre réponse pour ''non premier'':-(
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Le fait que $x^2$ et $x^3$ soient irréductibles est facile à voir par des considérations de degré. Je n'ai pas compris l'argument d'Apollonius non plus.
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Deuxième question (plus facile) : est-ce que $(x^3)^2$ appartient à l'idéal engendré par $x^2$ ?
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Je vais détailler la réponse pour la première partie:
On raisonne par l'absurde. Supposons que $x^2$ est réductible donc ils existent $P_1, P_2\in R$ tel que
$x^2=P_1P_2$
Or $P_1, P_2\in R$ implique il existent $c_1,c_2\in k$, $q_1,q_2\in k[x]$ tel que
$P_1=c_1+x^2q_1(x)$ et $P_1=c_2+x^2q_2(x)$
donc $x^2=(c_1+x^2q_1(x))(c_2+x^2q_2(x))=c_1c_2+c_1x^2q_2(x)+c_2x^2q_1(x)+x^4q_1(x)q_2(x)$
Par identification $c_1c_2=0$
$(c_1q_2(x)+c_2q_1(x))=1$ pour tout $x\in k$
et $q_1(x)q_2(x)=0$ pour tout $x\in k$
donc $c_1=0$ et $c_2q_1(x)=1$ et $q_2(x)=0 $
Je suis perdu....:-( -
Poirot t'a déjà dit de t'intéresser aux degrés.
Remarque : un élément de $R$ ne peut pas être de degré $1$.
Si $x^2=P_1P_2$ avec $P_1,P_2\in R$, que peut-on dire des degrés de $P_1$ et $P_2$ ?
Si $x^3=P_1P_2$ avec $P_1,P_2\in R$, que peut-on dire des degrés de $P_1$ et $P_2$ ? -
pour le premier cas degré de $P_1$ est $2$ et degré de $P_2$ est $0$ ou degré de $P_2$ est $2$ et degré de $P_1$ est $0$
pour le deuxième cas degré de $P_1$ est $3$ et degré de $P_2$ est $0$ ou degré de $P_2$ est $3$ et degré de $P_1$ est $0$
Je ne vois pas la contradiction?! -
Quelle est la définition d'élément irréductible ? Qu'est-ce qu'un polynôme de degré 0 ?
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Un polynôme de degré $0$ est une constante dans $k$
Un élément p est irréductible s'il n'est pas inversible, et si, dès que l'on écrit p=ab, ou bien a est inversible, ou bien b est inversible. -
Est-ce que toute constante dans $k$ est de degré $0$ ? Peux-tu caractériser plus exactement les polynômes de degré $0$ ?
Alors, maintenant, tu ne vois toujours pas la conclusion de l'argument ? -
Toute constante non nulles est de degré 0
donc $P_1\in k^{\times}$ ou $P_2\in k^{\times}$
Juste? -
Convaincu ?
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Pour la première partie oui mais pour la deuxième voilà ce que j'ai écrit:
On a $(x^3)^2\in (x^2)$ car $(x^3)^2=x^6=x^2x^4$ avec $x^4=x^2x^2\in R$ mais $x^3\notin (x^2)$ car $x^3=x^2x$ et $x\notin R$
Juste? Pour montrer que $(x^3)$ n'est pas premier je ne vois pas le contre exemple -
> Juste?
Convaincu ?
Pour l'idéal $(x^3)$, il me paraît naturel de réfléchir à ce qu'on peut faire avec $x^2$, non ? -
Oui convaincu.
Pour $(x^3)$ j'ai réfléchi d'utiliser $(x^2)^2$!! et je ne suis pas convaincu :-D -
Tu ne vois pas une puissance de $x^2$ appartenant à $(x^3)$ ?
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Il y a $(x^2)^3=x^6=x^3x^3\in (x^3)$ mais il n'y a pas une contradiction
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Voyons ; $(x^2)^3$ appartient à $(x^3)$. Est-ce que $x^2$ appartient à $(x^3)$ ?
Est-ce que $(x^3)$ est un idéal premier ? -
Non ok!
J'ai une autre question si on considère l'idéal $I$ comment montrer su'il n'est pas principale? -
$I$ est défini comme l'idéal principal de $k[x]$ engendré par $x^2$.
Mais sans doute la question concerne $I$ comme idéal de $R$ ?
Il est important de préciser dans quel anneau on se place.
M'est avis qu'on peut réfléchir à comment se servir de $x^2$ et $x^3$ pour cette question. Je te laisse réfléchir. -
Oui effectivement il faut surement utiliser $x^2$ et $x^3$ mais je ne sais pas comment:-S
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Je n'ai pas trouvé la solution:-(
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Supposons que $I$ soit engendré par $P$ dans $R$.
Qu'est-ce que ça entraînerait pour $P$, $x^2$ et $x^3$ ? -
$x^2$ et $x^3$ appartient à $I=(P)$ donc ils existent $P_1$ et $P_2$ dans $R$ tel que $x^2=PP_1$ et $x^3=PP_2$ ensuite que faut il faire?
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Pfff! Il faut vraiment tout te dire !
Qu'as-tu montré à propos de $x^2$ et $x^3$ en tant qu'éléments de $R$ ?
Je m'arrête là. -
Supposons que $I$ soit engendré par $P$ dans $R$.
On a $x^2\in I$ donc il existe $P_1\in R$ tel que $x^2=PP_1$
De même $x^3\in I$ donc il existe $P_2\in R$ tel que $x^3=PP_2$
Donc l'idéal engendré par $x^2$ est inclut dans $I$
De même l'idéal engendré par $x^3$ est inclut dans $I$
On sait que $x^2$ et $x^3$ sont irréductibles et non premiers . Comment utiliser ça pour avoir la contradiction? -
Quelle est la définition d'élément irréductible, déjà ?
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Un élément p est irréductible s'il n'est pas inversible, et si, dès que l'on écrit p=ab, ou bien a est inversible, ou bien b est inversible.
Donc $P=$constante non nul ce qui est absurde car $P$ est de la forme $x^2q(x)$ avec $q\in R$
mais pourquoi on utilise à la fois $x^2$ et $x^3$? -
Soyons patients ...
Applique la définition correctement !
$x^2$ est irréductible et $x^2= PP_1$. Donc $P$ est inversible (c.-à-d. une constante non nulle) ou ... -
$P_1$ est inversible (c.-à-d. une constante non nulle)
ensuite? -
Là, je sors pour de bon. Trop, c'est trop.
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