Bonsoir, je voudrais savoir si le groupe libre d'un groupe G est toujours égal à G.
Si la réponse est non auriez-vous quelques contre-exemples à proposer ?
Merci d'avance.
Ce que j'entends par là c'est que si l'on prend le groupe libre sur G, avec G muni d'une structure de groupe, alors est-ce que le groupe libre sera t-il toujours G ?
Pas très clair, ce que tu demandes.
Voici comment on peut le comprendre : on considère le foncteur de la catégorie des groupes dans elle-même qui au groupe $G$ associe le groupe $G$ (et à un morphisme de groupes le même morphisme de groupes). Autrement dit, tu considères le foncteur d'oubli qui n'oublie rien du tout, le foncteur identité.
Quel est l'adjoint à gauche du foncteur identité ? Bah, le foncteur identité.
Si c'est ça ce que tu demandes, permets-moi de trouver cette question hum ... bizarre.
Si ce n'est pas ça, que veux-tu dire ?
Je pense que la question est : "Est ce que le groupe libre sur $U(G)$ ou $U$ est le foncteur d'oubli dans la catégorie des ensembles est isomorphe à $G$?" La réponse est non.
Si c'était la question de Nelik, il aurait pu avoir la réponse immédiatement en réfléchissant à ce qui se passe pour $G$ = le groupe trivial (réduit à l'élément neutre).
Oui Noname c'était bien ma question merci pour ta réponse.
Merci aussi GaBuZoMeu pour ton exemple, en effet cela parait évident a présent mais je n'avais pas saisi que l'on devait "ôter" la structure algébrique de l'ensemble au préalable ce par quoi je concluais faussement car si j'ai bien compris a présent si G=Id alors U(G) est un singleton et le groupe libre d'un singleton est Z.
Est ce correct ?
Si la question repose sur la construction du groupe libre sur l'ensemble $G$ alors ça n'avait aucune chance de marcher, puisqu'il y a plusieurs groupes différents (au sens de non isomorphes) mais qui ont le même ensemble sous-jacent !
Réponses
Voici comment on peut le comprendre : on considère le foncteur de la catégorie des groupes dans elle-même qui au groupe $G$ associe le groupe $G$ (et à un morphisme de groupes le même morphisme de groupes). Autrement dit, tu considères le foncteur d'oubli qui n'oublie rien du tout, le foncteur identité.
Quel est l'adjoint à gauche du foncteur identité ? Bah, le foncteur identité.
Si c'est ça ce que tu demandes, permets-moi de trouver cette question hum ... bizarre.
Si ce n'est pas ça, que veux-tu dire ?
Merci aussi GaBuZoMeu pour ton exemple, en effet cela parait évident a présent mais je n'avais pas saisi que l'on devait "ôter" la structure algébrique de l'ensemble au préalable ce par quoi je concluais faussement car si j'ai bien compris a présent si G=Id alors U(G) est un singleton et le groupe libre d'un singleton est Z.
Est ce correct ?