Application linéaire et polynômes

Je ne sais pas si il y a d'autres questions mais cet exercice suggère de ne pas trop faire de calculs mais de se rendre compte de la puissance du raisonnement algébrique en considérant $\varphi$ dans $\mathbb{R}_{n}\left[X\right]$ où $n$ est un entier fixé.
1) Montre que $\varphi$ est un endomorphisme.
2) Comme t'indique Rakam montre que $\ker (\varphi)=$ {polynômes constants}=$\mathbb{R}_0\left[X\right]$ pas uniquement le polynôme nul et que c'est un sev de dimension 1.
3) Pour $\mathrm{im}(\varphi)$ montre que $\deg\big(\varphi(P)\big)\leq\deg(P)-1$ et déduis que $\mathrm{im}\left(\varphi\right)\subset\mathbb{R}_{n-1}\left[X\right] $. Utilise ensuite le théorème du rang (si tu ne le connais pas cela doit être dans ton cours car cet exercice en est une belle illustration).
4) Fais tendre $n$ vers l'infini.

Pardon de contribuer au désordre ambiant, je reviens à la première phrase de la solution.

mikess19731973 a écrit:

si $f$ est bijective alors elle est injective et surjective

Ce n'est pas faux mais cela ne permettra peut-être pas de répondre à la question. Exprimé de cette façon, cette phrase ne peut servir qu'à réfuter la bijectivité, soit en montrant que $f$ n'est pas injective, soit en montrant qu'elle n'est pas surjective. En effet, à supposer que $f$ soit injective et surjective, cette phrase ne permettrait pas d'en déduire qu'elle est bijective (elle le serait pourtant, bien sûr). Rédaction inappropriée ou erreur de logique (confusion entre « condition nécessaire et suffisante », « condition nécessaire » et « condition suffisante ») ?