Extension de corps et extension de morphisme
Bonjour
J'aimerais savoir si vous aviez quelques idées quant à la question suivante. Je me place toujours en caractéristique nulle.
Sait-on "caractériser/décrire" les corps $L$ tels que pour tout sous-corps $k$, tout automorphisme de $k$ puisse s'étendre en un automorphisme de $L$ ?
Ce que j'entends par "caractériser/décrire" n'est pas précis : des conditions suffisantes seraient d'ailleurs tout aussi intéressantes (par exemple si $L$ est algébriquement clos cela fonctionne : mais c'est un peu trop fort). En fait, j'ai besoin de telles conditions pour les utiliser en pratique.
Une autre façon de voir un tel corps : pour tout sous-corps $k$ tel que $L/k$ est algébrique, tout automorphisme de $k$ envoie les polynômes de $k$ qui ont une racine dans $L$ vers des polynômes de même nature.
Merci d'avance.
J'aimerais savoir si vous aviez quelques idées quant à la question suivante. Je me place toujours en caractéristique nulle.
Sait-on "caractériser/décrire" les corps $L$ tels que pour tout sous-corps $k$, tout automorphisme de $k$ puisse s'étendre en un automorphisme de $L$ ?
Ce que j'entends par "caractériser/décrire" n'est pas précis : des conditions suffisantes seraient d'ailleurs tout aussi intéressantes (par exemple si $L$ est algébriquement clos cela fonctionne : mais c'est un peu trop fort). En fait, j'ai besoin de telles conditions pour les utiliser en pratique.
Une autre façon de voir un tel corps : pour tout sous-corps $k$ tel que $L/k$ est algébrique, tout automorphisme de $k$ envoie les polynômes de $k$ qui ont une racine dans $L$ vers des polynômes de même nature.
Merci d'avance.
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Réponses
les $\mathbf{Q}(\sqrt{d})$, les $\mathbf{F}_{p^2}$ pour $p$ premier (puisqu'ils ont un unique sous-corps non trivial et le seul automorphisme de ce sous-corps est identité), les corps algébriquement clos.
Plus généralement, si tu prends $L$ une extension de degré $q$ premier de $\mathbf{Q}$ ou d'un $\mathbf{F}_p$.