Dérivation sur l'algèbre des séries formelles

Gaussien · April 2018

Bonsoir,

Soit $D$ la dérivation usuelle sur la $\Bbb C$-algèbre des séries formelles $\Bbb C\left[ \left[ T \right] \right]$.

Si $D'$ est une dérivation de $\Bbb C\left[ \left[ T \right] \right]$ telle que $D'\restriction_{\Bbb C \left[ T\right] }=D\restriction_{\Bbb C \left[ T\right]}$, a-t-on $D=D'$?

Merci d'avance.

Gaussien · April 2018

Désolé d'avoir posté si vite : en fait, la réponse est positive et ce n'est pas méchant.

Soit $v$ est la valuation usuelle sur les séries formelles et $P$ une série formelle. Pour $n\geq0$, écrivons $P=A+T^n B$ où $A$ est un polynôme de degré au plus $n-1$ et $B$ est une série formelle.

Alors, $v(D(P)-D'(P))=v(T^nD(B)-T^nD'(B))\geq n$. Ceci étant vrai pour tout $n$ on a $D(P)=D'(P)$.

Dérivation sur l'algèbre des séries formelles

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