min max versus inf sup
Bonjour,
dans le théorème mis en pièce jointe, l'auteur note $\langle\,x\,,\,x^*\,\rangle$ l'action d'une forme linéaire $x^*$ sur un vecteur $x$ (ce que l'on note plus volontiers $\langle\,x^*\,,\,x\,\rangle$) et $M^\perp$ désigne l'orthogonal au sens des formes linéaires (ce que l'on note plus volontiers $M^\circ$).
J'ai lu la démonstration sans avoir tout compris encore et avant d'aller plus loin je souhaite m'assurer de deux points.
Je vous remercie par avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da
dans le théorème mis en pièce jointe, l'auteur note $\langle\,x\,,\,x^*\,\rangle$ l'action d'une forme linéaire $x^*$ sur un vecteur $x$ (ce que l'on note plus volontiers $\langle\,x^*\,,\,x\,\rangle$) et $M^\perp$ désigne l'orthogonal au sens des formes linéaires (ce que l'on note plus volontiers $M^\circ$).
J'ai lu la démonstration sans avoir tout compris encore et avant d'aller plus loin je souhaite m'assurer de deux points.
- Dans mon esprit ce qui permet d'avoir un "max" et non un "sup" (à droite du égal) c'est le fait que l'orthogonal est un espace fermé et que $\{\,x^*\mid\|x^*\|\leq 1\,\}$ est une boule fermée et donc l'intersection des deux est encore fermée. Est-ce bon, où y a-t-il d'autres propriétés à vérifier ?
- Pour pouvoir remplacer "inf" (à gauche du égal) par un "min" puis-je ajouter comme hypothèses suffisantes que $X$ soit un Banach (c'est-à-dire complet en plus d'être normé) et que $M$ soit fermé ? Et si je ne souhaite pas toucher à $X$, puis-je m'en sortir en supposant $M$ complet ?
Je vous remercie par avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da
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Réponses
Commençons la démo pour voir où ça coince : on dispose d'une suite $(x_n^*)_n$ d'éléments de $M^{\perp} \cap \{x^* \in X' \mid ||x^*|| \leq 1\}$ qui vérifient, en notant $s$ la borne supérieure considérée, $s - \frac{1}{n} \leq \langle x, x_n^* \rangle \leq s$ pour tout $n \geq 1$. Donc en effet, la suite réelle $(\langle x, x_n^* \rangle)_n$ converge vers $s$, mais ce n'est pas ce qu'on veut, on veut un élément $x^*$ du dual tel que cette limite soit $\langle x, x^* \rangle$. Et ça, c'est de la compacité qui peut nous le donner.
Et ça tombe bien, le théorème de Banach-Alaoglu nous dit justement que la boule unité fermée du dual de $X$ est compacte, et $M^{\perp} \cap \{x^* \in X' \mid ||x^*|| \leq 1\}$ étant un fermé de ce compact, est compact aussi, et on a gagné, après extraction et utilisation de la continuité de $x^* \mapsto \langle x, x^* \rangle$.
merci énormément pour ton aide. Je me rends compte que j'ai encore du boulot pour digérer tout cela. J'avais en tête la continuité de l'application considérée mais je ne m'étais pas posé au sens de quelle topologie... et de toute façon je me serai pris les pieds dans le tapis de la compacité (qui ne m'a pas effleuré l'esprit, ne serait-ce qu'une seconde).
Je ne suis pas au clair sur ces notions. Je vais prendre le temps de la réflexion mais avant je pense avoir identifié mon erreur de raisonnement sans grande conviction. Je vais dégoupiller une énormité mais c'est pour cerner ma lacune. Si l'espace avait été réflexif, a-t-on encore besoin de l'argument de compacité pour dire qu'il existe un élément $x^*$ du dual topologique tel que la limite soit $\langle x,x^*\rangle$ ?
Cordialement,
Mister Da
merci pour ta réponse et ta patience.
"Quel rapport entre la réflexivité et ce dont j'ai parlé ?"
Voici une tentative d''explication de la genèse de mon élucubration. Quand j'ai lu "[...] lorsque l'on considère la topologie faible-$*$ sur $X'$. Mais ce n'est pas suffisant." je me suis dis que la topologie faible-$*$ était trop faible et dans les espaces réflexifs on peut identifier $X$ et $X''$ (via l'isométrie qui est alors un isomorphisme) et que du coup la topologie faible-$*$ devenait la topologie faible... et que donc... ça ne pouvait qu'être mieux...voilà voilà...
Si je résume la situation, on fixe un $x$ de l'espace vectoriel réel normé $X$ et on considère une suite d'éléments $(x^*_n)_n$ d'un sous-espace $E$ de $X'$ (le dual topologique de $X$) telle que la suite $(\langle x , x^*_n\rangle)_n$ converge dans $\mathbb{R}$ vers la limite $s$. Si on veut pouvoir dire qu'il existe un $x^*$ (tel que $\langle x , x^*\rangle=s$) vers lequel la suite $(x^*_n)_n$ converge la continuité du crochet de dualité (c'est-à-dire la continuité de l'application $x^*\mapsto \langle x,x^*\rangle$ avec la topologie faible-$*$) et la "fermeture" de $E$ ne suffisent pas, il faut la compacité de ce dernier, est-ce bien cela ?
Cordialement,
Mister Da
ps : dans le problème "dual", si je considère un espace vectoriel normé $X$. Je fixe un élément $x^*$ de son dual topologique $X'$ et considère une suite d'éléments $(x_n)_n$ d'un sous-espace $E$ de $X$ telle que $(\langle x_n , x^*\rangle)_n$ converge dans $\mathbb{R}$ vers la limite $s$, pour dire qu'il existe un élément $x$ de $E$ tel que $\langle x , x^*\rangle=s$ vers lequel la suite $(x_n)_n$ converge, est-ce que le fait que $E$ soit fermé suffit ?
Pour le problème dual, commence la "démonstration" et regarde où ça bloque, tu tomberas sur le même genre de problème.
merci pour ton aide.
Pour la compacité, j'étais en train d'y réfléchir avant de poser une question. Si l'espace $E$ est compact on peut extraire de $(u^*_n)_n$ une sous-suite convergente que l'on note $(v^*_n)_n$. Du coup, tout comme $(u^*_n)_n$, cette suite est telle que la suite réelle $(\langle x, v^*_n\rangle)_n$ converge vers $s$. La suite $(v^*_n)_n$ étant elle même convergente, elle converge nécessairement vers un $x^*$ tel que $\langle x, x^*\rangle=s$ vu que le crochet de dualité est continu.
Pour le problème dual je viens de comprendre que j'ai longtemps cru un truc faux ! Juste une petite question en passant, si je considère $X$ complet encore en plus (un espace de Banach au final) ça devrait mieux tenir non ?
J'espère ne pas avoir raconté trop d'énormités. J'ai mis mon amure, tu peux taper fort.
Cordialement,
Mister Da
Edit : merci pour la précision, c'est effectivement une condition suffisante, donc il faut dire "il suffit"
Le problème dual est en fait trivial et ne fait intervenir aucun argument topologique, je te laisse réfléchir un peu ;-)
J'ai encore une dernière question sur le problème initial. On est bien d'accord qu'ici le $x^*$ n'est pas unique étant donné qu'il peut être envisageable d'extraire une autre sous-suite convergente disons $(w^*_n)_n$ qui converge vers un $y^*\neq x^*$ ?
Concernant le problème dual, je cogite mais je ne vois rien de trivial pour le moment.
Cordialement,
Mister Da
Pour le problème dual, ça n'a rien à voir avec une éventuelle valeur d'adhérence de la suite $(x_n)_n$, ni même avec la suite $(x_n)_n$. Quelle est l'image de $x^*$ ?
Merci pour ta patience !
Cordialement,
Mister Da
Je pioche un $y\in E\setminus \operatorname{ker}x^*$, ainsi $\langle y, x^*\rangle = t \neq 0$ et je pose $x = \frac{s}{t}y$ mais j'imagine que tu attendais une réponse plus intéressante...
Cordialement,
Mister Da
ps :
En parallèle du problème dual, je suis en train de remettre à plat notre discussion relative au problème initial. Je viens de me rendre compte que je pense avoir tout compris au raisonnement sauf le point de départ... Quand tu dis "on dispose d'une suite $(x_n^*)_n$ d'éléments de $M^{\perp} \cap \{x^* \in X' \mid \|x^*\| \leq 1\}$ qui vérifient, en notant $s$ la borne supérieure considérée, $s - \frac{1}{n} \leq \langle x, x_n^* \rangle \leq s$ pour tout $n \geq 1$.", je ne comprends pas d'où cela provient.
Pour la suite $(x_n^*)_n$, j'ai simplement utilisé la définition de borne supérieure !
On considère un espace vectoriel normé $X$. On fixe un élément $x^*$ de son dual topologique $X'$ et considère une suite d'éléments $(x_n)_n$ d'un sous-espace $E$ de $X$ telle que $(\langle x_n , x^*\rangle)_n$ converge dans $\mathbb{R}$ vers la limite $s$, pour dire qu'il existe un élément $x$ de $E$ tel que $\langle x , x^*\rangle=s$ vers lequel la suite $(x_n)_n$ converge, il suffit de remarque que la forme $x^*$ est surjective. C'est ça ?
Concernant le problème initial, je ne vois pas. On considère une suite $(x^*_n)_n$ d'élément de $M^{\perp} \cap \{x^* \in X' \mid ||x^*|| \leq 1\}$. Donc par définition de la norme duale j'ai écrit que $\|x^*\|_{X'} = \sup_{x\in X, x\neq0} \frac{|\langle x , x^*_n\rangle|}{\|x\|_X}\leq 1$. J'en suis rendu à écrire $|\langle x , x^*_n\rangle| \leq \|x\|_X$, j'ai pas la sensation de partir dans le bon sens.
Merci pour ta patience !
Il n'y a aucune norme duale à regarder ici, la borne supérieure dont je parle est $s = \sup_{x^* \in M^{\perp}, ||x^*|| \leq 1} |\langle x, x_n \rangle|$.
Pour le problème initial, je reprends (on est d'accord, il faut lire $x^*$ à la place de $x_n$ et il n'y a pas de valeur absolue autour du crochet ?) : $s = \sup_{x^* \in M^{\perp}, ||x^*|| \leq 1} \langle x, x^*\rangle$. Si on considère une suite $(x^*_n)_n$ d'élément de $M^{\perp} \cap \{x^* \in X' \mid ||x^*|| \leq 1\}$, par construction on a $\langle x, x^*_n\rangle\leq s$ pour tout $n$. Mais je tourne en rond pour faire apparaitre le $s-\frac{1}{n}$...
Cordialement,
Mister Da
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée. La borne supérieur $\sup A$ vérifie : $\forall\varepsilon, \exists a\in A \mid \sup A-\varepsilon< a < \sup A$.
Ici pour un $x$ fixé, $A = \{\,\langle x, x^*\rangle \mid x^*\in E\,\}$ avec $E = M^{\perp} \cap \{x^* \in X' \mid \|x^*\| \leq 1\}$. Cette partie de $\mathbb{R}$, n'est pas vide et elle est majorée étant donné que $\|x^*\| \leq 1$. On note $s$ la borne supérieure. Du coup pour chaque $n\in\mathbb{N}^*$, je pose $\varepsilon = \frac{1}{n}$ et je sais qu'il existe un réel $\alpha_n\in A$ tel que $s-\frac{1}{n}< \alpha_n < s$. Donc par construction, il existe un $x^*_n$ de $E$ tel que $s-\frac{1}{n}< \langle x, x^*_n\rangle < s$. C'est ça ?
Cordialement,
Mister Da
Edit : j'ai modifié la fin du raisonnement, j'avais écrit un truc bancal.
On se sert très souvent de cette version avec $1/n$ ou tout autre chose dont on a besoin de faire tendre vers $0$ à la vitesse qu'on veut.
Un grand merci franc, sincère et massif pour ton aide et ta patience, j'ai appris énormément de choses.
Cordialement,
Mister Da
Une derrière petite question avant de clore cette discussion, dans 99,99% des ouvrages que je lis on note l'application d'une forme linéaire $\varphi$ sur un vecteur $v$ de la manière suivante $\varphi(v)$ ou encore $\langle\varphi,v\rangle$. Dans le livre d'où provient le théorème, l'auteur note $\langle v,\varphi\rangle$. C'est courant en mathématique ? Y a-t-il un intérêt particulier à cette notation, ou est-ce juste une convention (ou une mode) comme une autre ?
Cordialement,
Mister Da
Encore merci pour ta précieuse aide. Les bouquins c'est sympa mais c'est moins interactif qu'un ténor du phörum.
Cordialement,
Mister Da