Injectivité et inversibilité

Bonjour,

Merci pour ta réponse. C'est vrai que j'ai sorti le canon de 12 pour pas grand chose.

Je savais qu'il y avait un truc, c'était trop facile autrement. Avant de me lancer dans des usines à gaz, est-ce que la réciproque est vraie ?

Cordialement,
Mister Da

Re bonjour,

après une intense réflexion, je tente un argument pour régler le cas de la dimension de $E$ infinie. Pour cela j'ai pioché dans ma boîte à outil cette propriété : Si on considère opérateur $B$ linéaire et borné entre deux hilbertiens alors on a : $(\operatorname{im} B^*)^\perp = \operatorname{ker}B$.


Je replante le paysage (j'ai ajouté "borné" comme hypothèse supplémentaire) : on considère $A\colon E\to F$ un opérateur $A$ linéaire borné entre deux espaces de Hilbert $E$ et $F$ dont les produits scalaires sont notés $(\cdot\mid\cdot)_E$ et $(\cdot\mid\cdot)_F$. On définit son adjoint $A^*\colon F\to E$ par $(Ax\mid y)_F = (x\mid A^*y)_E$ pour tout $x\in E$ et $y\in F$.

On souhaite montrer que $A$ est injective si et seulement si $A^*A$ est inversible.

Si $A$ n'est pas injective, il existe un $x$ non nul de $E$ tel que $Ax = 0_F$ donc $A^*Ax = 0_E$ donc $A^*A$ n'est pas inversible.

Si $A^*A$ n'est pas inversible alors il y a deux cas :

1. $A^*A$ n'est pas injectif : il existe un $x$ non nul de $E$ tel que $A^*Ax = 0_E$ ainsi $0 = (A^*Ax\mid x)_E = (Ax\mid A^{**}x)_F = (Ax\mid Ax)_F = \|Ax\|^2_F$ ce qui implique que $Ax = 0_F$, donc $A$ n'est pas injective.
2. $A^*A$ n'est pas surjectif. En effet, en utilisant la propriété avec $B = A^*A$ (qui est auto adjoint) on a $(\operatorname{im} ^\perp = \operatorname{ker}B$. Si $B$ était surjective alors $\operatorname{im} B = E$ et donc $\operatorname{ker}B = \{0_E\}$ et $B$ serait donc injective donc inversible.

Cela tient-il la route ?

Cordialement,
Mister Da

"Je n'ai pas dit ça pour la dimension [...] Tu semblais oublier ce cadre particulier pour t'attaquer à ce problème."
Désolé, j'avais mal compris le sens de ta remarque et c'est vrai que j'oublie très souvent de me servir de toutes les hypothèses...


"Bon en fait tu as montré que dès que $A^*A$ n'est pas inversible, il n'est pas surjectif ! Donc on n'est pas avancé."
Certes, en fait dans ma tête j'avais avancé d'un cran mais j'ai raisonné en dimension finie une nouvelle fois et c'est faux. Comme j'avais sous les yeux $(\operatorname{im} ^\perp = \operatorname{ker}B$ je me suis dit que si l'image si $\operatorname{im} B \neq E$ alors $\operatorname{ker}B \neq \{0_E\}$. J'en étais arrivé à la chaîne $A^*A$ n'est pas inversible, il n'est pas surjectif et s'il n'est pas surjectif il n'est pas injectif et s'il n'est pas injectif $A$ n'est pas injectif.

C'est notoirement faux car je peux imaginer par exemple $\operatorname{im} B$ ouverte mais dense dans $E$ et dans ce cas on a bien $\operatorname{im} B \neq E$ mais $\operatorname{ker}B = \{0_E\}$ c'est ça ? Je me prends les pieds dans le tapis à tous les coups.

Donc si je résume en considérant un opérateur $A\colon E\to F$ linéaire (borné ?) entre deux espaces de Hilbert on a $A~\text{injectif} \Leftrightarrow A^*A~\text{injectif} \overset{\operatorname{dim}E < +\infty}{\Longleftrightarrow } A^*A~\text{inversible}$. Ce qui explique donc pourquoi l'auteur ne parle pas d'injectivité.

Si j'arrive à prendre un peu de temps je vais tenter la version duale, qui doit être $A^*~\text{surjective} \Leftrightarrow AA^*~\text{surjective} \overset{\operatorname{dim}F < +\infty}{\Longleftrightarrow } AA^*~\text{inversible}$.

Le livre fait 340 pages, je n'aurais jamais assez d'une vie pour le comprendre.

Merci beaucoup pour ton aide.

Cordialement,
Mister Da