Triplets pythagoriciens

Mrocdemorgat · April 2018

Bonjour
Je considère trois entiers $x,y,n$ tels que $1\leq x,\ y\leq n$ et $x^2(n^2+y^2)=n^2y^2$.
Il s'agit de montrer qu'il existe trois entiers naturels $a,\,b$ et $c$ tels que $$
a^2+b^2=c^2,\quad x=ab,\quad y=ac, \quad n=bc. $$Pourriez-vous me donner un peu d'aide ?
Je vous en remercie d'avance.

Crapul · April 2018

Déjà vu ce qu'on doit montrer on peut poser $a=pgcd(x,y)$ et $x=ab$ et $y=ac$, avec $pgcd(b,c)=1$, et essayer de dérouler comme on peut avec Gauss.

jandri · April 2018

Sous cette forme le résultat est faux.
Pour $x=24$, $y=30$ et $n=40$ l'égalité est vérifiée mais $xyn$ n'est pas un carré.

On peut montrer que $x=kab, y=kac,n=kbc$ avec $a^2+b^2=c^2$, $a,b,c$ premiers entre eux deux à deux.

Mrocdemorgat · April 2018

Je pose donc $k=\text{PGCD}(x,y,z), x=kx',y=ky'$ et $n=kn'$, de sorte que $x',y'$ et $n'$ soient premiers dans leur ensemble, avec:

$x'^2(n'^2+y'^2)=n'^2y'^2$.

Ensuite, j'introduis $a=\text{PGCD}(x',y')$, puis $b$ et $c$ premiers entre eux tels que $x'=ab$ et $y'=ac$.

Via le théorème de Gauss, je prouve sans difficulté que $bc$ divise $n'$: j'introduis donc $q$ tel que $n'=qbc$, pour arriver à $a^2+q^2b^2=q^2c^2$.

Et puis, blocage! Je n'arrive pas à montrer que $q=1$.

Mrocdemorgat · April 2018

C'est bon j'ai trouvé:
Avec $a^2+q^2b^2=q^2c^2$, j'obtiens que $q$ divise $a$. Comme $q$ divise à la fois $x'=ab$, $y'=ac$ et $n'=qbc$ qui sont premiers dans leur ensemble, $q=1$.
Désolé pour le bruit.

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