Inclusion des noyaux de deux formes linéaires

Topotopo · April 2018

Salut.

S'il vous plaît pour deux fonctions linéaires $f.g: X\rightarrow\mathbb{R}$ avec $\ker(g)\subset \ker(f)$ comment montrer qu'il existe $\lambda>0$ tel que $f=\lambda g$ ?

Merci.

b.b · April 2018

Bonjour,

Tu veux sans doute parler de formes linéaires ?
Tu pourrais préciser ton énoncé ? Parce que pour l'instant, en supposant $X$ différent de l'espace nul, $f=0$ et $g\ne 0$, ça coince.

Topotopo · April 2018

$X$ et un espace de Banach, et $f,g\in X'$ forme linéaire continue

b.b · April 2018

On a toujours le même problème...
Prends $X=\R$ muni de la valeur absolue, $f$ identiquement nulle et $g:x\mapsto x$. S'il existait un réel $\lambda>0$ tel que $f=\lambda g$, on aurait $g=0$.

Topotopo · April 2018

Voici la partie en question 75160

gb · April 2018

Bonjour,

Il eût fallu recopier ce texte correctement.
1. Il est question de «$\lambda\in\R$», pas de «$\lambda>0$».
2. Le scalaire $\lambda$ porte sur la forme linéaire $g$ qui a le «plus petit noyau», pas le «plus gros noyau».

Il suffit de distinguer deux cas : $\mathrm{Ker}\,g$ est, soit l'espace $X$, soit un hyperplan de $X$, et il suffit, pour traiter ce second cas de considérer les restrictions de $f$ et de $g$ à un supplémentaire de cet hyperplan.

Topotopo · April 2018

Il y a une erreur dans le livre c'est $\ker(g)\subset \ker(f-\tilde{f})$.

Topotopo · April 2018

Je n'ai pas compris comment faire pouvez-vous m'expliquer s'il vous plaît.

GaBuZoMeu · April 2018

Le truc avec une forme linéaire non nulle $g:X\to \mathbb{R}$ :
Soit $v\in X\setminus \ker g$. Alors $X=\ker g \oplus \mathbb R v$ ; il suffit de remarquer que pour tout $x\in X$,
$$g\left(x-\dfrac{g(x)}{g(v)} v\right)=0\;.$$
Une fois qu'on a vu ça, ça roule tout seul.

Topotopo · April 2018

S'il vous plait c'est quoi $\mathbb{R}v$ ? et quel est la relation avec le fait que $\ker(g)\subset \ker(f-\tilde{f})$?
Merci.

[$\LaTeX$ fournit la commande \ker qui gère les espacements : $\ker g$. AD]

Topotopo · April 2018

$g$ est une fonction linéaire, donc $$g\Big(x-\dfrac{g(x)}{g(v)}v\Big)=g(x)-\dfrac{g(x)}{g(v)}g(v)=g(x)-g(x)=0
$$ $\ker(g)\subset \ker(f-\tilde{f})$ alors $(f-\tilde{f})\Big(x-\dfrac{g(x)}{g(v)}v\Big)=0$ $$
0=(f-\tilde{f})\Big(x-\dfrac{g(x)}{g(v)}v\Big)=(f-\tilde{f})(x)-\dfrac{g(x)}{g(v)} (f-\tilde{f})(v)
$$ Comment continuer s'il vous plaît ?
Merci.

GaBuZoMeu · April 2018

Comment continuer ? En se rappelant ce qu'on cherche à démontrer, et en n'oubliant pas le quantificateur universel.

Topotopo · April 2018

C'est quoi "le quantificateur universel" ? S'il vous plaît
J'ai un problème avec $(f-\tilde{f})(v)$ $$
(f-\tilde{f})(x)=\left(\dfrac{(f-\tilde{f})(v)}{g(v)}\right) g(x)\quad ???$$