Trois solutions en progression géométrique

Bonjour,

La condition est : \(q^3-rp^3=0\).

Lorsqu'elle est réalisée :
– si \(p\) est nul, alors \(q\) itou, et les racines de l'équation sont les racines cubiques de \(r\) ;
– si \(p\) est non nul, une des racines est : \(\alpha=-q/p\), les autres sont les racines de \(p^2x^2+p(p^2-q)x+q^2\).

Bah, moduloP a presque tout dit : les racines sont de la forme $\alpha\beta^{-1}, \alpha, \alpha\beta$ (je préfère éviter le doublon avec $q$). Il ne reste qu'à dérouler les relations coefficients-racines :
$$\begin{aligned}
-p&=\alpha(\beta^{-1}+1+\beta)\\
q&=\alpha^2(\beta^{-1}+1+\beta)\\
-r&=\alpha^3
\end{aligned}$$
et à éliminer $\alpha$ et $\beta$ en remarquant que $q+\alpha p=0$, d'où $q^3+\alpha^3p^3=0$ et $q^3-rp^3=0$.

J'ai fortement tendance à penser que la raison d'une progression géométrique est non nulle par définition. Mais les avis peuvent différer sur ce point.

C'est une condition nécessaire.

PS : quid du cas $c\neq 0$, $a=b=0$, pour lequel la condition $b^2-4ac=0$ d'existence d'une racine double de l'équation $ax^2+bx+c=0$ est satisfaite ?