Si M est une matrice triangulaire supérieure stricte, alors elle est nilpotente.
J’aimerais savoir si la réciproque est vraie, si une matrice est nilpotente, est-elle triangulaire supérieure stricte ?
La matrice
1 1
-1 -1
Est nilpotente d’indice de nilpotence 2 mais elle peut être diagonalisée, on aura la matrice :
0 1
0 0
Qui est triangulaire supérieure stricte,
Ça affirme la réciproque non ?
Non. Tu demandes si toute matrice nilpotente est triangulaire supérieure stricte. On t'a donné un contre-exemple. Par contre, il est vrai que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire stricte. Ça se démontre facilement en considérant les valeurs propres d'une telle matrice.
Je suis curieux de voir comment tu diagonalises $\begin{pmatrix}1 & 1 \cr -1 & -1 \end{pmatrix}$.
D'autre part, les deux matrices $\begin{pmatrix}1 & 1 \cr -1 & -1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 0 & 0 \end{pmatrix}$ ne sont pas égales, mais semblables.
Si la question est : est-ce que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire supérieure à diagonale nulle, alors la réponse est oui.
Démo. Le polynôme caractéristique d'une matrice nilpotente de taille $n$ est $X^n$, qui est scindé, donc la matrice est trigonalisable, i.e. semblable à une matrice triangulaire supérieure, dont les éléments diagonaux sont nécessairement les valeurs propres. Or la seule valeur propre est $0$...
Oui, en décortiquant la structure des noyaux itérés et en construisant les tableaux d'Young…cela doit constituer (actuellement) un bon problème de concours, ou au moins quelques parties.
Un élève de prépa MP qui n'a aucune compétence en dehors du programme actuel ne pourrait pas généraliser via lelemme des noyaux sans être conduit pas à pas par la main.
Bien évidemment que si, puisque je dis que ce serait l'objet d'un problème.
Mais ensuite, l'élève-type de MP (pas de MP*), serait rapidement confronté à des difficultés presque insurmontables pour intégrer le résultat aux différentes composantes obtenus par le lemme des noyaux. Il est impossible d'avoir des chiffres précis puisque la classe d'origine des candidats est inconnue du dossier d'inscription, mais la première épreuve du concours Mines-Ponts 2011 (sur les anciens programmes…) a discriminé, avec quatre questions (lemme des noyaux et travail par blocs) permettant d'établir la décomposition de Dunford, les élèves de MP* et ceux de MP.
Pour ce qui est de la réduite de Jordan, le cas particulier est accessible aux élèves de MP, le cas général ne l'est pas.
Merci de ces éclaircissements. J'avais besoin de ce résultat pour démontrer que si $A$ est une matrice nilpotente, alors il existe une matrice $B$ telle que : $AB-BA=A$, réciproque de la propriété bien connue. Mais ça ne fait rien, je le pose en supposant que la matrice donnée $A$ est semblable à une surdiagonale. Ils verront plus tard que c'est le cas de toute nilpotente.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Réponses
Pourquoi supérieure ? Et si elle est inférieure ?
Et quel est le carré de la matrice
1 1
-1 -1
?
Cordialement.
1 1
-1 -1
Est nilpotente d’indice de nilpotence 2 mais elle peut être diagonalisée, on aura la matrice :
0 1
0 0
Qui est triangulaire supérieure stricte,
Ça affirme la réciproque non ?
D'autre part, les deux matrices $\begin{pmatrix}1 & 1 \cr -1 & -1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 0 & 0 \end{pmatrix}$ ne sont pas égales, mais semblables.
Si la question est : est-ce que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire supérieure à diagonale nulle, alors la réponse est oui.
Démo. Le polynôme caractéristique d'une matrice nilpotente de taille $n$ est $X^n$, qui est scindé, donc la matrice est trigonalisable, i.e. semblable à une matrice triangulaire supérieure, dont les éléments diagonaux sont nécessairement les valeurs propres. Or la seule valeur propre est $0$...
Oui, en décortiquant la structure des noyaux itérés et en construisant les tableaux d'Young…cela doit constituer (actuellement) un bon problème de concours, ou au moins quelques parties.
Mais ensuite, l'élève-type de MP (pas de MP*), serait rapidement confronté à des difficultés presque insurmontables pour intégrer le résultat aux différentes composantes obtenus par le lemme des noyaux. Il est impossible d'avoir des chiffres précis puisque la classe d'origine des candidats est inconnue du dossier d'inscription, mais la première épreuve du concours Mines-Ponts 2011 (sur les anciens programmes…) a discriminé, avec quatre questions (lemme des noyaux et travail par blocs) permettant d'établir la décomposition de Dunford, les élèves de MP* et ceux de MP.
Pour ce qui est de la réduite de Jordan, le cas particulier est accessible aux élèves de MP, le cas général ne l'est pas.
Bonne soirée.
Fr. Ch.