Soit $R$ un anneau avec $1$ vérifiant la propriété: pour tout $ a \in R$ il existe un $b \in R$ tel que $aba=a.$
Prière de m'aider à montrer que $Rad(R)=\left\{0\right\}$
Pour tout élément $a\in R$, il existe $b\in R$ tel que $a(1-ba)=0$. On peut éventuellement rapprocher ça d'une caractérisation des éléments du radical de Jacobson.
Le radical de Jacobson étant l'intersection des idéaux maximaux de $R$, il s'agit de l'ensemble des éléments nuls dans chaque quotient par ces idéaux maximaux, c'est-à-dire non inversible puisqu'il s'agit de corps ! L'expression donnée par GBZM devrait t'aider à montrer qu'il n'y a que $0$.
Pourquoi ne pas écrire un raisonnement plus direct ?\[(\forall\,a)(a\in\text{Rad}(R)\Rightarrow(\exists\,b)(b\in{R}\text{ et }a\,(1-b\,a)=0\text{ et }1-b\,a\in{R^{\times}})\Rightarrow(\cdots))\]Bien cordialement,
Thierry
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Réponses
Rad désigne quoi ? Le radical de Jacobson ?
Oui c'est Le radical de Jacobson
Que connais-tu comme caractérisation des éléments du radical de Jacobson d'un anneau (unitaire, pas forcément commutatif) ?
$x\in Rad(R)$ SSI $\forall a\in R,\ 1+ax$ inversible.
On suppose qu'il existe $a\in Rad(A)\subset R$ non nul donc il existe $b\in R$ tel que $a(1-ba)=0$
Mais je ne vois pas comment continuer.
@Lotfi : j'ai déjà remarqué dans un autre fil qu'il fallait tout te dire. Tu as tout ce qu'il te faut pour conclure. C'est juste sous ton nez.
On a $(1-ba)$ est inversible car $a\in Rad(R)$ donc $a(1-ba)(1-ba)^{-1}=0(1-ba)^{-1}=0$ donc $a=0$ absurde
Juste?
Pourquoi ne pas écrire un raisonnement plus direct ?\[(\forall\,a)(a\in\text{Rad}(R)\Rightarrow(\exists\,b)(b\in{R}\text{ et }a\,(1-b\,a)=0\text{ et }1-b\,a\in{R^{\times}})\Rightarrow(\cdots))\]Bien cordialement,
Thierry
Pouvez-vous m'aider avec cette question.
Soit $I$ l'idéal à gauche minimal de $R$. On a $I^2 \neq \left\{0\right\}$.
Je veux montrer que $I$ est un idéal principal à gauche.