Pseudo-inverse

Bonjour à tous
J'ai besoin de votre aide pour savoir si ma justification est recevable.
Voici l'énoncé.

Soit $E$ un ev de dimension finie
Soit $f$ un endomorphisme de $E$. Montrer l'existence d'un endomorphisme $g$ tel que $f\circ g \circ f=f$ et $g \circ f \circ g=g$ et $rg(f)=rg(g)$.

Dans une première question on montre que si deux de ces conditions sont respectées la 3e l'est aussi
Donc pour cela je me contente juste de poser l'endomorphisme suivant : $$ \begin {array}{cccl}
g:& f(E)& \longrightarrow &E\\
& x=f(c)& \longmapsto& c
\end{array}
$$ $g$ ainsi défini est bien de $E$ dans $E$
$g$ linéaire car soit $(x,y) \in f(E)$ $x=f(c)$ et $y=f(d)$ et soit $(a,b) \in K^2$
$g(ax+by)=g(f(ac+bd))=ac+bd=af(x)+bf(y)$
De plus,
Soit $x \in E$
$f(g(f(x))=f(x)$ et $g(f(g(x))=g(x)$ cela implique donc que $rg(f)=rg(g)$

En quelque sorte je me contente de poser une sorte de pseudo inverse à gauche de $f$
Je me permets de vous demander car dans la correction ils n'utilisent pas du tout cet endomorphisme ils utilisent des considérations avec des supplémentaire de $\ker f$ et $\operatorname{im }f$.
Merci d'avance.
Ghandi