Polynômes

Je suppose $P$ non constant. Son coefficient dominant est donc $>0$.

$\def\H{\mathcal{H}}$
La conique d'équation $q(x,y)=P(x) - y^2=0$ est donc une hyperbole $\H$, symétrique par $y\leftrightarrow -y$.

Ses asymptotes s'écrivent donc $y = \pm (ax+b), a >0$, (avec $a^2$ coefDom de $P(x)$)

Pour $n$ entier assez grand, la droite verticale $x=n$ coupe $\H$ en deux points entiers symétriques $\pm y_n \in \Z$, $y_n >0$.

Pour $n \to \infty$, on a $y_{n+1}-y_n \to a$, mais une suite convergente d'entiers est constante à partir d'un certain rang.

Notre hyperbole a donc trois points alignés, donc elle est dégénérée : $q(x,y)=P(x) - y^2=(ax+b-y)(ax+b+y)$, et $P$ est ce qu'il nous fallait.

-- Une autre façon de dire la même chose :
Pour $\alpha > 0$ le coefficient dominant, on a, pour $x\to+\infty$ : $\sqrt{P(x+1)} - \sqrt{P(x)} \to \alpha$ (analyse asymptotique !)

Même argument : cette suite convergente d'entiers est constante à partir d'un certain rang.

Pour terminer cette approche, je ne sais pas trop, par contre.