Polynômes
Réponses
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Tu peux peut-être commencer par montrer que si P convient alors c'est une combinaison linéaire à coefficients entiers des polynômes 1, X et X(X-1)/2.
Ensuite, un peu d'arithmétique... sans conviction. -
Je suppose $P$ non constant. Son coefficient dominant est donc $>0$.
$\def\H{\mathcal{H}}$
La conique d'équation $q(x,y)=P(x) - y^2=0$ est donc une hyperbole $\H$, symétrique par $y\leftrightarrow -y$.
Ses asymptotes s'écrivent donc $y = \pm (ax+b), a >0$, (avec $a^2$ coefDom de $P(x)$)
Pour $n$ entier assez grand, la droite verticale $x=n$ coupe $\H$ en deux points entiers symétriques $\pm y_n \in \Z$, $y_n >0$.
Pour $n \to \infty$, on a $y_{n+1}-y_n \to a$, mais une suite convergente d'entiers est constante à partir d'un certain rang.
Notre hyperbole a donc trois points alignés, donc elle est dégénérée : $q(x,y)=P(x) - y^2=(ax+b-y)(ax+b+y)$, et $P$ est ce qu'il nous fallait.
-- Une autre façon de dire la même chose :
Pour $\alpha > 0$ le coefficient dominant, on a, pour $x\to+\infty$ : $\sqrt{P(x+1)} - \sqrt{P(x)} \to \alpha$ (analyse asymptotique !)
Même argument : cette suite convergente d'entiers est constante à partir d'un certain rang.
Pour terminer cette approche, je ne sais pas trop, par contre.
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