Isométrie dans $(\mathbb R^3,\phi)$
On munit ${{\mathbb{R}}^{3}}$ du produit scalaire $\phi \left( x,y \right)=\sum\limits_{i=1}^{3}{\frac{1}{i}}{{x}_{i}}{{y}_{i}}.$ Soit la matrice définie par : $$
A=\frac{1}{4}\left( \begin{matrix}
3 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} \\
\sqrt{2} & 3 & -2 \\
-3\sqrt{2} & 3 & 2 \\
\end{matrix} \right)
$$ 1)-Supposons que $A$ est la matrice d’une isométrie $f$ pour l’espace euclidien $( {{\mathbb{R}}^{3}},\phi )$ dans la base canonique $C$. Déterminer les éléments géométriques de $f$.
2)-Déterminer une base orthonormée $C’$ dans $( {{\mathbb{R}}^{3}},\phi )$ en donnant la matrice de passage $Q$ de $C$ à $C’$.
3)-Montrer que $A$ est la matrice dans $( {{\mathbb{R}}^{3}},\phi )$ d’une isométrie.
Apparemment, la matrice $A$ n’est pas orthogonale, vous pouvez m’aider à résoudre cet exercice, je vous remercie d’avance.
A=\frac{1}{4}\left( \begin{matrix}
3 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} \\
\sqrt{2} & 3 & -2 \\
-3\sqrt{2} & 3 & 2 \\
\end{matrix} \right)
$$ 1)-Supposons que $A$ est la matrice d’une isométrie $f$ pour l’espace euclidien $( {{\mathbb{R}}^{3}},\phi )$ dans la base canonique $C$. Déterminer les éléments géométriques de $f$.
2)-Déterminer une base orthonormée $C’$ dans $( {{\mathbb{R}}^{3}},\phi )$ en donnant la matrice de passage $Q$ de $C$ à $C’$.
3)-Montrer que $A$ est la matrice dans $( {{\mathbb{R}}^{3}},\phi )$ d’une isométrie.
Apparemment, la matrice $A$ n’est pas orthogonale, vous pouvez m’aider à résoudre cet exercice, je vous remercie d’avance.
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Réponses
La matrice du produit scalaire est la matrice diagonale de diagonale $(1,1/2,1/3)$ ; appelons-la $J$. Les matrices d'isométrie pour ce produit scalaire sont les matrices $M$ qui vérifient $M^{\mathsf T}JM=J$.
Je l'ai déjà dit dans mon premier message. Combien de fois devrai-je le répéter ?
J’ai oublié une première question qui dit: est-ce que la matrice A, est orthogonale. Donc la réponse c'est non, car ${{A}^{t}}A\ne {{I}_{3}}$.
Pour la question 1) le produit scalaire de deux colonnes est : $ \displaystyle \phi \left( \left( x,y,z \right),\left( x',y',z' \right) \right)=xx'+\frac{1}{2}xx'+\frac{1}{3}yy'$.
Donc c’est vrai la matrice A est orthogonale car :
$\phi \left( {{C}_{1}},{{C}_{2}} \right)=0$ , $\phi \left( {{C}_{2}},{{C}_{3}} \right)=0$ , $\phi \left( {{C}_{3}},{{C}_{1}} \right)=0$
${{\left\| {{C}_{1}} \right\|}^{2}}=1$ , ${{\left\| {{C}_{2}} \right\|}^{2}}=\frac{1}{2}$ , ${{\left\| {{C}_{3}} \right\|}^{2}}=\frac{1}{3}$
On a det(A)=1 , il s’agit d’une isométrie directe, cela assure que f est une rotation.
Donc $A\in O_{3}^{+}\left( \mathbb{R} \right)$.
Soit $X\in {{M}_{3,1}}\left( \mathbb{R} \right)$
$$AX=X\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\frac{1}{4}x+\frac{1}{4\sqrt{2}}y+\frac{\sqrt{2}}{4}z=0 \\
& \frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}z=0 \\
& \frac{-3\sqrt{2}}{4}x+\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}z=0 \\
\end{aligned} \right.$$
Donc $\left\{ \begin{aligned}
& x=\frac{\sqrt{2}}{2}y \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.$
L’axe D de f est $Vect\left( u \right)$ avec $u=\left( 1,\sqrt{2},0 \right)$
Comme $tr\left( f \right)=tr\left( A \right)$ donc $1+2\cos \left( \theta \right)=2$ donne $\theta =\pm \frac{\pi }{3}\left[ 2\pi \right]$
Le signe de $\theta $ est le signe de:
$$\left[ i,f\left( i \right),u \right]=\left| \begin{matrix}
1 & \frac{3}{4} & 1 \\
0 & \frac{\sqrt{2}}{4} & \sqrt{2} \\
0 & \frac{-3\sqrt{2}}{4} & 0 \\
\end{matrix} \right|=\frac{3}{2}>0$$
Donc f est la rotation d’angle $\frac{\pi }{3}$ autour de $\left( 1,\sqrt{2},0 \right)$
est ce que c'est bon comme ça ?
en supposant que $A$ est la matrice d'une isométrie ...
Tu n'as donc pas à le démontrer. ce que tu as à faire, c'est vérifier que sous cette hypothèse la matrice $A$ est la matrice d'une rotation et donner les éléments géométriques de cette rotation. Ceci revient essentiellement à calculer le déterminant, déterminer le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 pour l'axe et à utiliser la trace pour déterminer l'angle (géométrique). Peu importe ici que la matrice soit ou non dans une base orthonormée : le déterminant, les valeurs propres et sous-espaces propres, la trace ne dépendent pas du choix de la base.
Il reste une erreur dans ce que tu écris : $A\in O_{3}^{+}\left( \mathbb{R} \right)$. Non, ce n'est pas vrai, tu as montré le contraire plus haut. As-tu oublié ce que veut dire $O_{3}^{+}\left( \mathbb{R} \right)$ ?
Tu as raison, ce qui m’a laissé écrire $A\in O_{3}^{+}\left( \mathbb{R} \right)$ c’est $\det \left( A \right)=+1$ , mais j’ai oublié que la matrice 2 n’est pas orthogonale.
Donc on peut dire que : ${{P}_{car,A}}\left( X \right)=\det \left( A-X{{I}_{3}} \right)=-\left( X-1 \right)\left( {{X}^{2}}-X+1 \right)$
Donc ${{\lambda }_{1}}=1$ c’est une valeur propre de $A$
Soit ${{E}_{{{\lambda }_{1}}}}$le sous espace propre associé à ${{\lambda }_{1}}=1$ et $u=x{{e}_{1}}+y{{e}_{1}}+z{{e}_{1}}$ un vecteur de $E$
$u\in {{E}_{{{\lambda }_{1}}}}\Leftrightarrow f\left( u \right)=u\Leftrightarrow \left( A-{{I}_{3}} \right)\left( \begin{matrix}
x \\
y \\
z \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{matrix} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\frac{1}{4}x+\frac{1}{4\sqrt{2}}y+\frac{\sqrt{2}}{4}z=0 \\
& \frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}z=0 \\
& \frac{-3\sqrt{2}}{4}x+\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}z=0 \\
\end{aligned} \right.$
${{E}_{{{\lambda }_{1}}}}$ est donc la droite vectorielle de la base $u={{e}_{1}}+\sqrt{2}{{e}_{2}}$ .
Puis avec la trace on détermine l’angle.
Mais est-ce qu’on peut procéder comme ça :
$\displaystyle {{\lambda }_{2}}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}={{e}^{\pm \frac{i\pi }{3}}}$ est aussi une valeur propre de $A$ , donc $f$ est la rotation d’angle $\frac{\pi }{3}$ dans le plan orthogonale à la droite $\ker \left( f-id \right)$
Enfin, vu la tête du produit scalaire, on réalise tout de suite que les vecteurs de la base canonique sont deux à deux orthogonaux. Il ne reste qu'à les normaliser.
je n'ai pas envie de dire des bêtises, c'est quoi cet algorithme connu ?
Un procédé pour obtenir une base orthonormé à partir d'une base quelconque. Tu n'as pas ça dans tes cours ?
Cordialement.
Ici tu as une base $C$ canonique. Si tu prends une autre base disons $(f_1,f_2,f_3)$ alors tu peux écrire les vecteurs $f_1,f_2,f_3$ en coordonnée dans la base $C$. La matrice de passage de la base $C$ vers la base $C'$ (ou l'inverse je ne sais jamais) c'est simplement la matrice où les trois colonnes sont les coordonnées de $f_1,f_2,f_3$.
Par exemple, si $f_1 = (1,2,3)$ $f_2 = (4,4,6)$ et $f_3 = (7,8,9)$, la matrice est :
$$
P= \begin{pmatrix}
1 & 4& 7 \\
2 & 4 & 8\\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}
$$
Bref, la définition n'est pas compliqué, il te suffit de trouver les vecteurs pour avoir la matrice !
Comment peut-on trouver les coordonnées de ces vecteurs ?
Il y a une méthode qui fonctionne tout le temps, tu prends n'importe quelle base et tu appliques le processus de Gram. Par exemple, tu pars de la base canonique et tu appliques l'algorithme (c'est un peu casse pied en général) mais ici ça va le faire !
Sinon, tu relis la remarque de GBZM un peu plus haut et tu VOIS que c'est très simple ici. Si tu ne vois pas, tu fais la méthode de Gram.
Donc c’est ça la matrice de passage de C à C’?
$$Q=\left( \begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \sqrt{2} & 0 \\
0 & 0 & \sqrt{3} \\
\end{matrix} \right)$$
Petite question concernant les matrices de passage.
1/ Est-ce que tu peux calculer la matrice inverse ?
2/ Est-ce que tu peux écrire la matrice de TA transformation dans la base C' ?
Oui la matrice de passage est inversible, car ces colonnes forment une base.
Pour répondre à ta deuxième question, je dois d’abord répondre à la question 2 de l'exercice que je n’ai pas encore compris, on vient de déterminer la matrice de passage Q, mais je n’ai pas encore déterminé cette base orthonormée C’
Il y a un truc tout simple que tu n'as pas compris, mais je ne sais pas quoi exactement !
La matrice et la base c'est presque la même chose. Si tu as la base alors tu as la matrice en mettant les vecteurs en colonne et si tu as la matrice alors tu as la base en prenant les $3$ colonnes !
Ps / Quand je dis : est-ce que tu peux calculer machin, je veux dire est-ce que tu peux m'écrire la réponse en vrai sur le forum :-D
Bon tout simplement la base orthonormé c’est : $( 1,0,0 )$ ; $( 0,\sqrt{2},0 )$ ; $( 0,0,\sqrt{3} )$
Pour la 3 question :
$\phi \left( {{C}_{1}},{{C}_{2}} \right)=0$ ,
$\phi \left( {{C}_{2}},{{C}_{3}} \right)=0$ ,
$\phi \left( {{C}_{3}},{{C}_{1}} \right)=0$
${{\left\| {{C}_{1}} \right\|}^{2}}=1$ ,
${{\left\| {{C}_{2}} \right\|}^{2}}=\frac{1}{2}$ ,
${{\left\| {{C}_{3}} \right\|}^{2}}=\frac{1}{3}$.
Cela c’est assez pour dire que $A$ une isométrie ?
Pour que $A$ soit une isométrie il faut d’abord que $A$ soit une matrice orthogonale c’est-à-dire ${{A}^{t}}A=1$ malgré que $\det (A)=+1$ .
Si l’on utilise la matrice de passage pour trouver la matrice $A$ qu’on va appeler la matrice $A’$ dans la base $C’$ : $$
A'={{Q}^{-1}}AQ=\begin{pmatrix}
\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} \\
\frac{1}{4} & \frac{3}{2} & \frac{-\sqrt{6}}{2} \\
\frac{-\sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}
$$ Dans ce cas : $A{{'}^{t}}A'={{I}_{3}}$
Ainsi la matrice $A$ dans est la matrice d’une isométrie dans $( {{\mathbb{R}}^{3}},\phi )$
Je te renvois a la réponse de GBZM : ici et là.
Relis les messages tranquillement, normalement tu as tout pour comprendre
Edit : si tu désignes par $C_i$ les colonnes de $A$ (tu n'as pas écrit ce qu'est $C_i$, alors ça a bien un rapport. Encore faudrait-il le justifier, et visiblement tu n'es pas très sûr de ce que tu avances.
Encore une fois, NON et NON !
Un endomorphisme d'un espace vectoriel euclidien est une isométrie si et seulement s'il existe une base orthonormée dans laquelle sa matrice est orthogonale.
Par ailleurs il y a deux coefficients faux dans ta matrice $A'$.
> Un endomorphisme d'un espace vectoriel euclidien est une isométrie si et seulement s'il existe
> une base orthonormée dans laquelle sa matrice est orthogonale.
A'=\begin{pmatrix}
\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} \\
\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{-\sqrt{6}}{4} \\
\frac{-\sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}
$$ "Un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien est une isométrie si et seulement s’il existe une base orthonormée dans laquelle sa matrice est orthogonale" : je ne trouve pas ça dans mon cours.
Ce n'est pas de ma faute si je ne comprends pas ce cours, c'est la faute du prof qui a un cours pourri, et je ne connais pas un bon livre pour mieux comprendre ce cours.
Je voulais vérifier que les colonnes ou les lignes de la matrice $A$ forment une famille orthogonale pour le produit scalaire.
Personnellement je n’ai rien appris en venant ici, à la fin tu viens me dire que j’ai suffisamment de problèmes.
Si tu comprends les maths, c’est bien pour toi, mais si tu es ici pour expliquer à un autre les maths permettez-moi de vous dire que vous êtes nuls.
Pas de problème, je sors, comme ça tu te débrouilleras mieux tout seul. :-D
C'est tout à fait normal parfois quand on commence un cours, on va trouver des difficultés de compréhension, mais en insistant on va finir par comprendre.
D’une part les réponses à ma question c’est moi qui les ai trouvées, d'autre part je ne sais savoir si la réponse à une question est juste ou pas.
Toi peut-être tu vas me juger d'imbécile, mais ce n'est pas grave, car je suis en train de tester des idées que je ne suis pas sûr qu'elles sont correctes, mais toi tu crois que je suis con.
On reprend :
C'est quoi la définition que tu as d'isométries linéaires ? Je pense que ça suffira à répondre à la question $3$.
C'est le but recherché.
Ce qui prouve que GBZM t'a donné les bonnes d'indications pour que tu trouves par toi-même.
AD
@Wissnaf : Je n'aime pas le ton avec lequel tu t'adresses aux intervenants (bénévoles) que sont moduloP et GaBuZoMeu (Cf. ceci ou cela). Il me semble pour ma part qu'ils ont largement contribué, avec d'autres (ici et là), à te faire progresser dans ton exo. Pour ma part, j'estime nécessaire de fermer ce fil. Tu as tous les éléments en main pour terminer seul ton exo.
Cordialement,
Thierry Poma
PS : Tu peux présenter d'éventuelles excuses par messages privés aux intéressés.