Isométrie dans $(\mathbb R^3,\phi)$

Oui la matrice A vérifié l’égalité que tu viens de donner, mais je cherche à comment répondre à la question (1)

Il faut d’abord que la matrice A soit orthogonale, et ce n’est pas le cas ici, tout est dans le cours on ce qui concerne un endomorphisme orthogonal si c’est une isométrie indirecte, je cherche à comprendre comment procédé dans ce cas

Bonjour,

J’ai oublié une première question qui dit: est-ce que la matrice A, est orthogonale. Donc la réponse c'est non, car ${{A}^{t}}A\ne {{I}_{3}}$.

Pour la question 1) le produit scalaire de deux colonnes est : $ \displaystyle \phi \left( \left( x,y,z \right),\left( x',y',z' \right) \right)=xx'+\frac{1}{2}xx'+\frac{1}{3}yy'$.

Donc c’est vrai la matrice A est orthogonale car :

$\phi \left( {{C}_{1}},{{C}_{2}} \right)=0$ , $\phi \left( {{C}_{2}},{{C}_{3}} \right)=0$ , $\phi \left( {{C}_{3}},{{C}_{1}} \right)=0$

${{\left\| {{C}_{1}} \right\|}^{2}}=1$ , ${{\left\| {{C}_{2}} \right\|}^{2}}=\frac{1}{2}$ , ${{\left\| {{C}_{3}} \right\|}^{2}}=\frac{1}{3}$

On a det(A)=1 , il s’agit d’une isométrie directe, cela assure que f est une rotation.

Donc $A\in O_{3}^{+}\left( \mathbb{R} \right)$.

Soit $X\in {{M}_{3,1}}\left( \mathbb{R} \right)$

$$AX=X\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\frac{1}{4}x+\frac{1}{4\sqrt{2}}y+\frac{\sqrt{2}}{4}z=0 \\
& \frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}z=0 \\
& \frac{-3\sqrt{2}}{4}x+\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}z=0 \\
\end{aligned} \right.$$

Donc $\left\{ \begin{aligned}
& x=\frac{\sqrt{2}}{2}y \\
& z=0 \\
\end{aligned} \right.$

L’axe D de f est $Vect\left( u \right)$ avec $u=\left( 1,\sqrt{2},0 \right)$

Comme $tr\left( f \right)=tr\left( A \right)$ donc $1+2\cos \left( \theta \right)=2$ donne $\theta =\pm \frac{\pi }{3}\left[ 2\pi \right]$

Le signe de $\theta $ est le signe de:
$$\left[ i,f\left( i \right),u \right]=\left| \begin{matrix}
1 & \frac{3}{4} & 1 \\
0 & \frac{\sqrt{2}}{4} & \sqrt{2} \\
0 & \frac{-3\sqrt{2}}{4} & 0 \\
\end{matrix} \right|=\frac{3}{2}>0$$

Donc f est la rotation d’angle $\frac{\pi }{3}$ autour de $\left( 1,\sqrt{2},0 \right)$

est ce que c'est bon comme ça ?

Bonjour,

Tu as raison, ce qui m’a laissé écrire $A\in O_{3}^{+}\left( \mathbb{R} \right)$ c’est $\det \left( A \right)=+1$ , mais j’ai oublié que la matrice 2 n’est pas orthogonale.

Donc on peut dire que : ${{P}_{car,A}}\left( X \right)=\det \left( A-X{{I}_{3}} \right)=-\left( X-1 \right)\left( {{X}^{2}}-X+1 \right)$

Donc ${{\lambda }_{1}}=1$ c’est une valeur propre de $A$

Soit ${{E}_{{{\lambda }_{1}}}}$le sous espace propre associé à ${{\lambda }_{1}}=1$ et $u=x{{e}_{1}}+y{{e}_{1}}+z{{e}_{1}}$ un vecteur de $E$

$u\in {{E}_{{{\lambda }_{1}}}}\Leftrightarrow f\left( u \right)=u\Leftrightarrow \left( A-{{I}_{3}} \right)\left( \begin{matrix}
x \\
y \\
z \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{matrix} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -\frac{1}{4}x+\frac{1}{4\sqrt{2}}y+\frac{\sqrt{2}}{4}z=0 \\
& \frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}z=0 \\
& \frac{-3\sqrt{2}}{4}x+\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}z=0 \\
\end{aligned} \right.$

${{E}_{{{\lambda }_{1}}}}$ est donc la droite vectorielle de la base $u={{e}_{1}}+\sqrt{2}{{e}_{2}}$ .

Puis avec la trace on détermine l’angle.

Mais est-ce qu’on peut procéder comme ça :

$\displaystyle {{\lambda }_{2}}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}={{e}^{\pm \frac{i\pi }{3}}}$ est aussi une valeur propre de $A$ , donc $f$ est la rotation d’angle $\frac{\pi }{3}$ dans le plan orthogonale à la droite $\ker \left( f-id \right)$

Bonjour,

je n'ai pas envie de dire des bêtises, c'est quoi cet algorithme connu ?

Oui Algorithme de Gram-Schmidt, mais ce que je n’ai pas compris c’est en donnant la matrice de passage de C à C’

Et maintenant comment répondre à cette 3 eme question ?

C'est juste une faute de frappe : $$
A'=\begin{pmatrix}
\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} \\
\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{-\sqrt{6}}{4} \\
\frac{-\sqrt{6}}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}
$$ "Un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien est une isométrie si et seulement s’il existe une base orthonormée dans laquelle sa matrice est orthogonale" : je ne trouve pas ça dans mon cours.

Ce n'est pas de ma faute si je ne comprends pas ce cours, c'est la faute du prof qui a un cours pourri, et je ne connais pas un bon livre pour mieux comprendre ce cours.
Je voulais vérifier que les colonnes ou les lignes de la matrice $A$ forment une famille orthogonale pour le produit scalaire.

Justement, vous faites que compliquer les choses, au lieu d’expliquer les questions d’un exercice, vous êtes là pour montrer vos muscles.

Personnellement je n’ai rien appris en venant ici, à la fin tu viens me dire que j’ai suffisamment de problèmes.

Si tu comprends les maths, c’est bien pour toi, mais si tu es ici pour expliquer à un autre les maths permettez-moi de vous dire que vous êtes nuls.

Qu'est-ce que je vais gagner si je continue la discussion avec toi ? Tu ne fais que provoquer, on dirait que toi tu connais tout.

C'est tout à fait normal parfois quand on commence un cours, on va trouver des difficultés de compréhension, mais en insistant on va finir par comprendre.

D’une part les réponses à ma question c’est moi qui les ai trouvées, d'autre part je ne sais savoir si la réponse à une question est juste ou pas.
Toi peut-être tu vas me juger d'imbécile, mais ce n'est pas grave, car je suis en train de tester des idées que je ne suis pas sûr qu'elles sont correctes, mais toi tu crois que je suis con.