Nombres complexes
Bonsoir tout le monde, j’espère que vous allez bien, j'ai un problème avec la dernière question de mon exercice qui est le suivant.
On considère 3 points différents A , B , W d'affixes a , b et w.
Soit r la rotation du centre W et de l'angle pi/3. On pose P=r(A) et B=r(Q).
Soit p le nombre complexe l'affixe de P et q l'affixe de Q.
1)a-J'ai montré que : q=w+e^i(-pi/3)(b-w) et p=w+e^i(pi/3)(a-w)
b) J'ai montré que (1-e^i(pi/3))/(1-e^i(-pi/3))=e^i(4pi/3)
c) J'ai montré que (p-a)/(q-b)=(w-a)e^i(4pi/3)/w-b
2) On suppose que (w-a)/(w-b)=e^i(2pi/3)
a) J'ai montré que APQB est un parallélogramme.
b) Maintenant la question qui pose problème ! : Montrer que Arg((b-a)/(p-a))= pi/2 [2pi]
Je n'arrive pas à trouver une relation entre b-a et p-a
si vous pouviez m'aider merci.
On considère 3 points différents A , B , W d'affixes a , b et w.
Soit r la rotation du centre W et de l'angle pi/3. On pose P=r(A) et B=r(Q).
Soit p le nombre complexe l'affixe de P et q l'affixe de Q.
1)a-J'ai montré que : q=w+e^i(-pi/3)(b-w) et p=w+e^i(pi/3)(a-w)
b) J'ai montré que (1-e^i(pi/3))/(1-e^i(-pi/3))=e^i(4pi/3)
c) J'ai montré que (p-a)/(q-b)=(w-a)e^i(4pi/3)/w-b
2) On suppose que (w-a)/(w-b)=e^i(2pi/3)
a) J'ai montré que APQB est un parallélogramme.
b) Maintenant la question qui pose problème ! : Montrer que Arg((b-a)/(p-a))= pi/2 [2pi]
Je n'arrive pas à trouver une relation entre b-a et p-a
si vous pouviez m'aider merci. Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Une façon de faire : exprimer $p-w$, $a-w$ et $b-w$ en fonction de $b-w$ (oui, c'est facile pour le dernier) ; puis exprimer $p-a=p-w-(a-w)$ et $b-a=b-w-(a-w)$ en fonction de $b-w$ qui par « chance » disparaît dans le quotient.
On n'est pas très loin de $Q=r^{-1}(B)$.
amicalement,
e.v.
@ev : Pour une fois, une polémique où tout le monde est d'accord.
Littéralement, tout tourne autour de $W$ :
- la rotation $r$ qui permet de définir $P$ en fonction de $A$,
- puis la rotation $r^{-1}$ pour $Q$ en fonction de $B$,
- enfin la relation étrange que l'on peut interpréter comme $A=r^{2}(B)$ (ah bon ? eh oui ! mais même si on ne reconnaît pas $r^2$, on doit lire dans la relation $\frac{a-w}{b-w}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3}$ que $WA=WB$ et que l'angle $\bigl(\widehat{\overrightarrow{WB},\overrightarrow{WA}}\bigr)$ mesure $2\pi/3$).
Cela veut dire d'une part que la « vraie origine », c'est $W$ et pas $O$, c'est-à-dire que les « bonnes » quantités vont être $a-w$, $b-w$, $p-w$ et $q-w$, et d'autre part que tous les points sont construits à partir de $B$, c'est-à-dire que tous ces affixes s'expriment facilement en fonction de $b-w$. Après, ça roule tout seul.