Nombres complexes

neeyz1
neeyz1
dans Algèbre
Bonsoir tout le monde, j’espère que vous allez bien, j'ai un problème avec la dernière question de mon exercice qui est le suivant.

On considère 3 points différents A , B , W d'affixes a , b et w.
Soit r la rotation du centre W et de l'angle pi/3. On pose P=r(A) et B=r(Q).
Soit p le nombre complexe l'affixe de P et q l'affixe de Q.

1)a-J'ai montré que : q=w+e^i(-pi/3)(b-w) et p=w+e^i(pi/3)(a-w)

b) J'ai montré que (1-e^i(pi/3))/(1-e^i(-pi/3))=e^i(4pi/3)

c) J'ai montré que (p-a)/(q-b)=(w-a)e^i(4pi/3)/w-b

2) On suppose que (w-a)/(w-b)=e^i(2pi/3)

a) J'ai montré que APQB est un parallélogramme.

b) Maintenant la question qui pose problème ! : Montrer que Arg((b-a)/(p-a))= pi/2 [2pi]

Je n'arrive pas à trouver une relation entre b-a et p-a :( si vous pouviez m'aider merci.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Dans la définition de $Q$, il doit manquer un inverse : $Q=r^{-1}(B)$, non ? Sans cette rectification, la relation $q-w=\mathrm{e}^{-i\pi/3}(b-w)$ est fausse.

    Une façon de faire : exprimer $p-w$, $a-w$ et $b-w$ en fonction de $b-w$ (oui, c'est facile pour le dernier) ; puis exprimer $p-a=p-w-(a-w)$ et $b-a=b-w-(a-w)$ en fonction de $b-w$ qui par « chance » disparaît dans le quotient.
  • ev
    ev
    @ Kate Moss
    neeyz1 a écrit:
    Soit r la rotation du centre W et de l'angle pi/3. On pose P=r(A) et B=r(Q).

    On n'est pas très loin de $Q=r^{-1}(B)$.

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • neeyz1
    neeyz1
    p-w en foction de b-w ça donne (b-w)(a-w)/q-w et a-w en foction de b-w ça donne (q-w)(p-w)/(b-w) , mais ça bloque toujours :(
  • Math Coss
    Math Coss
    @neeyz1 : Des relations $p-w=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}(a-w)$ et $\dfrac{a-w}{b-w}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}$ que tu as écrites, on tire une « meilleure » expression de $p-w$ en fonction de $b-w$.

    @ev : Pour une fois, une polémique où tout le monde est d'accord.
  • neeyz1
    neeyz1
    je vous remercie infinimeeeentt !!
  • neeyz1
    neeyz1
    juste une petite question , comment avez vous eu l'idée qu'on doit trouver p-w , a-w et b-w en fonction de b-w s'il vous plait ? c'est tres intelligent de votre part !
  • Math Coss
    Math Coss
    Hélas, c'est plutôt un réflexe de vieux renard (faut-il que je signe Math Fox ?).

    Littéralement, tout tourne autour de $W$ :
    • la rotation $r$ qui permet de définir $P$ en fonction de $A$,
    • puis la rotation $r^{-1}$ pour $Q$ en fonction de $B$,
    • enfin la relation étrange que l'on peut interpréter comme $A=r^{2}(B)$ (ah bon ? eh oui ! mais même si on ne reconnaît pas $r^2$, on doit lire dans la relation $\frac{a-w}{b-w}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3}$ que $WA=WB$ et que l'angle $\bigl(\widehat{\overrightarrow{WB},\overrightarrow{WA}}\bigr)$ mesure $2\pi/3$).
    Cela veut dire d'une part que la « vraie origine », c'est $W$ et pas $O$, c'est-à-dire que les « bonnes » quantités vont être $a-w$, $b-w$, $p-w$ et $q-w$, et d'autre part que tous les points sont construits à partir de $B$, c'est-à-dire que tous ces affixes s'expriment facilement en fonction de $b-w$. Après, ça roule tout seul.
  • neeyz1
    neeyz1
    mes félicitations monsieur pour ce reflexe merci pour beaucoup pour votre aide
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