Localisation de racines

majax
majax
dans Algèbre
Bonjour à tous,

je ne vois pas comment passer du théorème de Gauss-Lucas à : si tous les zéros d'un polynôme P sont de module inférieur ou égal au réel strictement positif R, il en est de même pour les x zéros de P '.

Merci d'avance pour votre aide.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Le disque de centre l'origine et de rayon $R$ n'est-il pas convexe ? Et que dit le théorème de Gauss-Lucas ?
  • majax
    majax
    Pour être un peu plus précis, je ne vois pas comment passer du polygone convexe au disque. Je suppose que le disque est le cas limite mais je ne vois pas trop comment faire rigoureusement, ce passage à la limite.

    Par la suite de polynôme $(X^n - 1)_{n \in N}$ peut-être ?

    Ou bien il suffit tout simplement de prendre le plus grand module sur les racines et former un disque de rayon ce module + epsilon.

    D'ailleurs, je me pose aussi la question de l'intérêt de ce résultat par rapport au théorème de Gauss-Lucas. Il est peut-être plus simple à exploiter dans la pratique.

    Merci.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu ne m'as pas répondu sur ce que dit le théorème de Gauss-Lucas. Alors je le fais à ta place :
    Soit $P$ un polynôme non constant. Alors les racines de $P'$ sont contenues dans l'enveloppe convexe (dans le plan de la variable complexe) des racines de $P$.
    Qu'est-ce que l'enveloppe convexe des racines de $P$ ? La plus petite partie convexe du plan contenant ces racines. Autrement dit, si une partie convexe du plan contient les racines de $P$, elle contient aussi les racines de $P'$.
    Faut-il remettre plus les points sur les i, ou ça va maintenant ?
  • majax
    majax
    Merci.
  • Math Coss
    Math Coss
    Voici une version light (c'est-à-dire sans les mots « convexe » ni « enveloppe convexe ») et qui constitue la preuve de l'énoncé. En notant $z_1,\dots,z_n$ les racines de $P$, le théorème de Gauss-Lucas (ou sa preuve) donne pour chaque racine $z$ de $P'$ des coefficients $a_1,\dots,a_n\in[0,1]$ tels que $z=\sum_{i=1}^na_iz_i$ ; l'inégalité triangulaire donne immédiatement : $|z|\le \sum_{i=1}^na_i|z_i|$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    @Math Coss : dans ta volonté d'alléger, tu as oublié un point fondamental : $\sum_{i=1}^n a_i = 1$.
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