La rédaction n'est pas précise. Visiblement, on fixe $x$ au début, d'où découlent $X$, $X'$, $y$, $Y$, $Y'$. À la fin, ce n'est pas le rapprochement des égalités $Y'=A'X'$ et $Y'=P^{-1}APX'$ pour cette valeur fixée de $x$ qui permet de conclure, c'est le fait l'égalité $P^{-1}APX'=A'X'$ soit vraie pour tout $x$.
(C'est comme quand on conclut une récurrence : on a fixé $n$, on a supposé $H(n)$, on a bravement démontré $H(n+1)$ ; il faut une phrase de conclusion pour ramasser l'ensemble du raisonnement et conclure que $H(n)$ est vraie pour tout $n$.)
On notera aussi la désinvolture dans la rédaction : si $y=f(x)\iff\dots$ Est-ce à dire que l'hypothèse porte sur l'implication ??? On, retrouve une implication fautive en fin de paragraphe, là où l'on attend un <<donc>>.
Réponses
C'est effectivement \(A'\).
La rédaction n'est pas précise. Visiblement, on fixe $x$ au début, d'où découlent $X$, $X'$, $y$, $Y$, $Y'$. À la fin, ce n'est pas le rapprochement des égalités $Y'=A'X'$ et $Y'=P^{-1}APX'$ pour cette valeur fixée de $x$ qui permet de conclure, c'est le fait l'égalité $P^{-1}APX'=A'X'$ soit vraie pour tout $x$.
(C'est comme quand on conclut une récurrence : on a fixé $n$, on a supposé $H(n)$, on a bravement démontré $H(n+1)$ ; il faut une phrase de conclusion pour ramasser l'ensemble du raisonnement et conclure que $H(n)$ est vraie pour tout $n$.)
Voilà la page complète, peut être que quelques informations sont sorties de leur contexte...
http://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch11/co/apprendre_ch11_19.html