Exponentielle de matrices

Bonjour,
Voici l'énoncé d'un exercice qui me bloque un peu :

$A$ est une matrice carrée quelconque.
Pour tout $t$ dans $\mathbb R$ et tout $n$ dans $\mathbb N$ on note $E_n(t)$ la matrice : $\quad\displaystyle E_n(t)=\sum_{k=0}^n \frac{t^k}{k!} A^k.$
On note aussi $\alpha_{ij} ^n $ le coefficient d'indices $i$ et $j$ de la matrice $E_n(t)$ ainsi que $\exp(tA)$ la matrice de coefficient $\alpha_{ij} = \lim\limits_{n \to +\infty} \alpha_{ij} ^n .$

Pour cette question on suppose qu'on a : $A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix}$
1) Déterminez les réels $\lambda$ pour lesquels $A-\lambda I$ n'est pas inversible ($I$ est la matrice identité).

J'ai trouvé $\lambda = 0$ ou $\lambda = 5$

2) Calculez $A^2, A^3, A^k$ pour tout $k$ dans $N$

J'ai trouvé $A^2 = \begin{pmatrix}
5 & 10\\
10 & 20
\end{pmatrix}, \qquad A^3 = \begin{pmatrix}
25 & 50\\
50 & 100
\end{pmatrix} \qquad\text{et}\quad A^k = \begin{pmatrix}
5^{k-1} & 2\times5^{k-1} \\
2\times5^{k-1} & 4\times5^{k-1}
\end{pmatrix}$

3) Calculer pour tout $t$ dans $\mathbb R$ et pour tout $n$ dans $\mathbb N$ la matrice $E_n(t)$ puis la matrice $\exp(tA)$ puis montrer que cette dernière s'écrit $P+e^{5t} Q$ où $P$ et $Q$ sont deux matrices carrées d'ordre 2 à expliciter.

Ce que j'ai fait :
Pour $E_n(t)$ :
$E_n(t) = \sum_{k=0}^n \frac{t^k}{k!} A^k$
$E_n(t) = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}
\frac{t^k}{k!}\times5^{k-1} & 2 \frac{t^k}{k!}\times5^{k-1} \\
2 \frac{t^k}{k!}\times5^{k-1}& 4 \frac{t^k}{k!}\times5^{k-1}
\end{pmatrix}$
Puis si $n$ tend vers l'infini j'ai donc :
$\exp(tA) = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
e^{5t} & 2e^{5t} \\
2e^{5t} & 4e^{5t}
\end{pmatrix}$
Mais je ne suis vraiment pas sur de ce résultat (voir sûr qu'il est faux).
Un petit coup de pouce ? :-S
Merci beaucoup !