Fonction transfert à partir de l'équa.diff

Bonjour à tout le monde,
ma question consiste à trouver l'expression de la fonction de transfert d'un correcteur PD à partir de l'équation différentielle de sa sortie.

Voici l'énoncé global :
On veut maintenir à la verticale une fusée pendant la phase atmosphérique de sa trajectoire.
Pour ce faire, on fait pivoter la tuyère du moteur principal suivant deux axes. En première approximation, les dynamiques de chacun des deux axes sont à peu près découplées, et l’on peut donc les modéliser séparément. On s’intéresse ici à l’un de ces deux axes d’évolution. La variable de sortie $y$ est l’angle d’inclinaison du lanceur et la variable de commande $u$ l’angle de braquage de la tuyère dans ce plan. Le temps (mesuré en secondes) est noté $t$ . Quand $u$ et $y$ restent tous les deux proches de $0$, un modèle simplifié du comportement du système est donné par l’équation différentielle : $$
\frac{d^2y(t)}{dt^2}-4y(t)=2u(t)+v(t)
$$ où $v(t)$ est une perturbation qui correspond principalement à l'effet du vent.

(Après il y à des questions auxquels j'ai répondues)

Voici l'énoncé concernant ma question:
On utilise pour commander le système un régulateur proportionnel-dérivé $PD$ de la forme : $$
u(t) = -k\Big( y(t)-\alpha y_r(t)+T_D \frac{dy(t)}{dt} \Big)
$$ où $k>0,\ T_D>0,\ \alpha>0$ sont trois constantes, et où $y_r(t)$ est une consigne d’inclinaison. L’objectif de commande est alors d’annuler l’erreur de poursuite : 1/ Déterminer la fonction de transfert du régulateur $C(p)$ et la fonction de transfert de la chaîne directe $T(p)$ (fonction de transfert de boucle) de cet asservissement. Montrer qu’en prenant $r(t)=\alpha y_r(t)$, le système asservi peut se mettre sous une forme standard, et dessiner un schéma-bloc du système asservi.

Voici ma démarche :
J'utilise la transformé de Laplace pour passer le signal en domaine fréquentiel :
Je sais que : $e(p)C(p)=U(p)$ alors $C(p)=\dfrac{U(p)}{e(p)}=\dfrac{-K(Y(p)-\alpha Y_r (p)+T_DpY(p))}{Y(p)-Y_r(p)} $
et donc : $C(p)=\dfrac{U(p)}{e(p)}=\dfrac{-K(Y(p)-\alpha Y_r (p)+T_DpY(p))}{Y(p)-Y_r(p)} $
cette forme du $C(p)$ je ne suis pas sûr qu'elle convienne...
Concernant le schéma bloc, je le déduis à partir de l'expression de $U(p)$ :
Ici d'abord le système à corriger :


et voici le schéma bloc demandé :


Pourriez-vous me donner votre avis, car je ne suis pas vraiment sûr de ma démarche et surtout la fonction de transfert du $C(p)$ devrait, il me semble, être plus simple et ne pas contenir les $Y(p)$ et $Y_r(p)$.

Merci par avance.

PS: il n'y a pas vraiment des forums en automatique à l'équivalence de celui-ci en mathématiques, mais si vous en connaissez ça m’intéresse.