Notation démo théorème des deux carrés
Bonsoir,
J'étudie la démonstration du théorème des deux carrés par les entiers de Gauss dans le Perrin (Cours d'algèbre p.56-58).
Cette démonstration fait intervenir plusieurs isomorphismes d'anneaux dont: $ \mathbb{Z} [ i ] / (p) \simeq \mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p) $
J'imagine bien que l'idéal principal $(p)$, où $p$ est un nombre premier, correspond à l'idéal $p \mathbb{Z} [ i ]$ ou $p \mathbb{Z} [X]$ selon le contexte,
et l'idéal principal $ (X^2+1) $ correspond à l'idéal $(X^2+1) \mathbb{Z} [X]$, i.e. les polynômes à coefficients entiers ayant $X^2 + 1$ comme facteur irréductible.
Cependant je ne suis pas sûr du sens de l'idéal $ (X^2+1,p) $ qui ne me semble pas introduit ailleurs dans le livre. Serait-ce par abus de notation l'idéal engendré par $X^2+1$
et $p$, c'est-à-dire $(X^2+1) \mathbb{Z} [X] \cap p \mathbb{Z} [X]$, et dans ce cas là on aurait $ \mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p) = \mathbb{Z}[X]/((X^2+1) \mathbb{Z} [X] \cap p \mathbb{Z} [X])$ ? Autrement dit, ce serait l'idéal des polynômes ayant $X^2 + 1$ comme facteur irréductible et dont tous les coefficients sont multiples de $p$?
Merci pour votre aide.
J'étudie la démonstration du théorème des deux carrés par les entiers de Gauss dans le Perrin (Cours d'algèbre p.56-58).
Cette démonstration fait intervenir plusieurs isomorphismes d'anneaux dont: $ \mathbb{Z} [ i ] / (p) \simeq \mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p) $
J'imagine bien que l'idéal principal $(p)$, où $p$ est un nombre premier, correspond à l'idéal $p \mathbb{Z} [ i ]$ ou $p \mathbb{Z} [X]$ selon le contexte,
et l'idéal principal $ (X^2+1) $ correspond à l'idéal $(X^2+1) \mathbb{Z} [X]$, i.e. les polynômes à coefficients entiers ayant $X^2 + 1$ comme facteur irréductible.
Cependant je ne suis pas sûr du sens de l'idéal $ (X^2+1,p) $ qui ne me semble pas introduit ailleurs dans le livre. Serait-ce par abus de notation l'idéal engendré par $X^2+1$
et $p$, c'est-à-dire $(X^2+1) \mathbb{Z} [X] \cap p \mathbb{Z} [X]$, et dans ce cas là on aurait $ \mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p) = \mathbb{Z}[X]/((X^2+1) \mathbb{Z} [X] \cap p \mathbb{Z} [X])$ ? Autrement dit, ce serait l'idéal des polynômes ayant $X^2 + 1$ comme facteur irréductible et dont tous les coefficients sont multiples de $p$?
Merci pour votre aide.
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Réponses
Oui c'est l'idéal engendré par $x^2+1$ et $p$. Mais l'idéal engendré par deux trucs, ce n'est pas l'intersection. Ici, c'est les polynômes $P = (x^2+1)F + pG$.
Passons dans $\Z$, c'est plus cool. Qu'est-ce alors que $a\Z+b\Z$ ? La relation de Bézout dit essentiellement que c'est $d\Z$, où $d$ est le (un) PGCD de $a$ et $b$. Autrement écrit : $(a,b)=(d)$.
et l'idéal $(1+x^2,p)$ avec $p$ premier n'est pas un idéal principal.
Merci pour vos réponses.
Si j'ai bien compris, on a donc $ (X^2+1, p) = (X^2+1) \mathbb{Z}[X] + p \mathbb{Z}[X] $ et non $ (X^2+1, p) = (X^2+1) \mathbb{Z}[X] \cap p \mathbb{Z}[X] $.
Du coup j'ai une autre question concernant $ \mathbb{Z}[X] / (X^2+1, p)$.
$ \mathbb{Z}[X] / (X^2+1)$ est l'ensemble des classes de congruence modulo $ (X^2+1) $, qu'on peut donc identifier au reste $ R $ dans $P = Q(X^2+1) + R$. Mais je vois pas à quoi ressemblent les classes de congruence dans $ \mathbb{Z}[X] / (X^2+1,p)$.
Autre question, qu'est-ce qui différencie les anneaux $ \mathbb{Z}[X] / (X^2+1,p)$, $[ \mathbb{Z}[X] /(p)] / (X^2+1)$ et $(\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}[X])/(X^2+1)$?
À mon avis, la bonne façon de voir ça est de réaliser qu'ils sont tous solution du même problème universel, à savoir tuer $p$ et avoir une racine carrée de $-1$. Je pourrais formaliser ...
Le document suivant Preuve théo deux carrés donne en p.2 un diagramme résumant les différents isomorphismes.
Par exemple, concrètement, c'est quoi la définition du morphisme de projection $\pi_1$ de $\mathbb{Z}[X]$ dans $\mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p)$?
> On montre facilement par double implication l'équivalence fondamentale
> "$p$ irréductible dans $\mathbb Z[ i]$" $\Leftrightarrow$ "$-1$ est un carré modulo $p$".
Hum hum, Poirot. Le premier équivaut à dire que $\mathbb Z/(p)$ est intègre, le deuxième que $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X]/(X^2+1)$ n'est pas intègre. Quand on sait que ces deux anneaux sont isomorphes, on réalise qu'il y a un petit problème ...
> Par exemple, concrètement, c'est quoi la définition du morphisme de projection $\pi_1$ de
> $\mathbb{Z}[X]$ dans $\mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p)$?
C'est tout simplement le passage au quotient, qui envoie un polynôme sur sa classe modulo l'idéal $(X^2+1,p)$.