Notation démo théorème des deux carrés
Bonsoir,
J'étudie la démonstration du théorème des deux carrés par les entiers de Gauss dans le Perrin (Cours d'algèbre p.56-58).
Cette démonstration fait intervenir plusieurs isomorphismes d'anneaux dont: $ \mathbb{Z} [ i ] / (p) \simeq \mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p) $
J'imagine bien que l'idéal principal $(p)$, où $p$ est un nombre premier, correspond à l'idéal $p \mathbb{Z} [ i ]$ ou $p \mathbb{Z} [X]$ selon le contexte,
et l'idéal principal $ (X^2+1) $ correspond à l'idéal $(X^2+1) \mathbb{Z} [X]$, i.e. les polynômes à coefficients entiers ayant $X^2 + 1$ comme facteur irréductible.
Cependant je ne suis pas sûr du sens de l'idéal $ (X^2+1,p) $ qui ne me semble pas introduit ailleurs dans le livre. Serait-ce par abus de notation l'idéal engendré par $X^2+1$
et $p$, c'est-à-dire $(X^2+1) \mathbb{Z} [X] \cap p \mathbb{Z} [X]$, et dans ce cas là on aurait $ \mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p) = \mathbb{Z}[X]/((X^2+1) \mathbb{Z} [X] \cap p \mathbb{Z} [X])$ ? Autrement dit, ce serait l'idéal des polynômes ayant $X^2 + 1$ comme facteur irréductible et dont tous les coefficients sont multiples de $p$?
Merci pour votre aide.
J'étudie la démonstration du théorème des deux carrés par les entiers de Gauss dans le Perrin (Cours d'algèbre p.56-58).
Cette démonstration fait intervenir plusieurs isomorphismes d'anneaux dont: $ \mathbb{Z} [ i ] / (p) \simeq \mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p) $
J'imagine bien que l'idéal principal $(p)$, où $p$ est un nombre premier, correspond à l'idéal $p \mathbb{Z} [ i ]$ ou $p \mathbb{Z} [X]$ selon le contexte,
et l'idéal principal $ (X^2+1) $ correspond à l'idéal $(X^2+1) \mathbb{Z} [X]$, i.e. les polynômes à coefficients entiers ayant $X^2 + 1$ comme facteur irréductible.
Cependant je ne suis pas sûr du sens de l'idéal $ (X^2+1,p) $ qui ne me semble pas introduit ailleurs dans le livre. Serait-ce par abus de notation l'idéal engendré par $X^2+1$
et $p$, c'est-à-dire $(X^2+1) \mathbb{Z} [X] \cap p \mathbb{Z} [X]$, et dans ce cas là on aurait $ \mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p) = \mathbb{Z}[X]/((X^2+1) \mathbb{Z} [X] \cap p \mathbb{Z} [X])$ ? Autrement dit, ce serait l'idéal des polynômes ayant $X^2 + 1$ comme facteur irréductible et dont tous les coefficients sont multiples de $p$?
Merci pour votre aide.
Réponses
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Salut,
Oui c'est l'idéal engendré par $x^2+1$ et $p$. Mais l'idéal engendré par deux trucs, ce n'est pas l'intersection. Ici, c'est les polynômes $P = (x^2+1)F + pG$. -
Le plus petit idéal, au sens de l'inclusion, de $\mathbb{Z}[X]$, anneau des polynômes à coefficients entiers relatifs d'une variable, qui contient les polynômes $x^2+1$ et $p$.
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L'idéal engendré par deux éléments $a$ et $b$ d'un anneau $A$ contient $a$, donc tous les multiples de $a$, et $b$, donc tous les multiples de $b$, et aussi les sommes de ces machins, c'est-à-dire les éléments de la forme $au+bv$ où $u$ et $v$ parcourent l'anneau. On vérifie que cet ensemble, qu'il est raisonnable de noter $aA+bA$, est bien un idéal.
Passons dans $\Z$, c'est plus cool. Qu'est-ce alors que $a\Z+b\Z$ ? La relation de Bézout dit essentiellement que c'est $d\Z$, où $d$ est le (un) PGCD de $a$ et $b$. Autrement écrit : $(a,b)=(d)$. -
$\mathbb{Z}[X]$ n'est pas un anneau principal.
et l'idéal $(1+x^2,p)$ avec $p$ premier n'est pas un idéal principal. -
Bonjour,
Merci pour vos réponses.
Si j'ai bien compris, on a donc $ (X^2+1, p) = (X^2+1) \mathbb{Z}[X] + p \mathbb{Z}[X] $ et non $ (X^2+1, p) = (X^2+1) \mathbb{Z}[X] \cap p \mathbb{Z}[X] $.
Du coup j'ai une autre question concernant $ \mathbb{Z}[X] / (X^2+1, p)$.
$ \mathbb{Z}[X] / (X^2+1)$ est l'ensemble des classes de congruence modulo $ (X^2+1) $, qu'on peut donc identifier au reste $ R $ dans $P = Q(X^2+1) + R$. Mais je vois pas à quoi ressemblent les classes de congruence dans $ \mathbb{Z}[X] / (X^2+1,p)$.
Autre question, qu'est-ce qui différencie les anneaux $ \mathbb{Z}[X] / (X^2+1,p)$, $[ \mathbb{Z}[X] /(p)] / (X^2+1)$ et $(\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}[X])/(X^2+1)$? -
Il vaut mieux répondre à la dernière question : essentiellement, rien ne différencie ces trois anneaux. On peut en ajouter un quatrième : $(\mathbb Z[X]/(X^2+1))/(p)$, autrement dit $\mathbb Z/(p)$. Ils sont canoniquement isomorphes.
À mon avis, la bonne façon de voir ça est de réaliser qu'ils sont tous solution du même problème universel, à savoir tuer $p$ et avoir une racine carrée de $-1$. Je pourrais formaliser ... -
En fait, c'est un développement que je prépare et j'ai lu dans plusieurs sources que le point crucial de la démo du théorème des deux carrés est de pouvoir expliciter les isomorphismes entre ces différents anneaux.
Le document suivant Preuve théo deux carrés donne en p.2 un diagramme résumant les différents isomorphismes.
Par exemple, concrètement, c'est quoi la définition du morphisme de projection $\pi_1$ de $\mathbb{Z}[X]$ dans $\mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p)$? -
On peut s'en sortir à la main sans passer par ces isomorphismes. On montre facilement par double implication l'équivalence fondamentale "$p$ irréductible dans $\mathbb Z[ i]$" $\Leftrightarrow$ "$-1$ n'est pas un carré modulo $p$".
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Poirot écrivait:
> On montre facilement par double implication l'équivalence fondamentale
> "$p$ irréductible dans $\mathbb Z[ i]$" $\Leftrightarrow$ "$-1$ est un carré modulo $p$".
Hum hum, Poirot. Le premier équivaut à dire que $\mathbb Z/(p)$ est intègre, le deuxième que $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X]/(X^2+1)$ n'est pas intègre. Quand on sait que ces deux anneaux sont isomorphes, on réalise qu'il y a un petit problème ... -
GuiFre écrivait:
> Par exemple, concrètement, c'est quoi la définition du morphisme de projection $\pi_1$ de
> $\mathbb{Z}[X]$ dans $\mathbb{Z}[X]/(X^2+1,p)$?
C'est tout simplement le passage au quotient, qui envoie un polynôme sur sa classe modulo l'idéal $(X^2+1,p)$. -
Une remarque : le point crucial dans la démonstration c'est le fait que $\Z[ i]$ soit un anneau principal. Les histoires d'anneaux isomorphes c'est quelques choses de très général (important oui, crucial non).
-
Oui GBZM, j'ai posté rapidement, je voulais dire non carré bien sûr.
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