Caractérisation valeurs propres par la trace
dans Algèbre
Bonjour.
Soit $A$ une matrice carrée réelle de taille $n$. On suppose qu'il existe $n$ réels distincts $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que : $$
\forall k \in \left\{ 1,\ldots, n\right\}, \quad \text{tr}(A^k)=\lambda_1^k+\cdots+\lambda_n^k.
$$ Il s'agit de montrer que $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sont les valeurs propres de $A$, sans utiliser les formules de Newton (c'est un exercice d'oral du concours Mines-Ponts MP).
Avez-vous des idées ?
Merci d'avance.
Soit $A$ une matrice carrée réelle de taille $n$. On suppose qu'il existe $n$ réels distincts $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que : $$
\forall k \in \left\{ 1,\ldots, n\right\}, \quad \text{tr}(A^k)=\lambda_1^k+\cdots+\lambda_n^k.
$$ Il s'agit de montrer que $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sont les valeurs propres de $A$, sans utiliser les formules de Newton (c'est un exercice d'oral du concours Mines-Ponts MP).
Avez-vous des idées ?
Merci d'avance.
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Réponses
Le problème c'est que l'égalité des traces n'est donné que jusqu'à l'exposant \(n\) et pas au-delà.
Le résultat ne vaut donc pas pour le carré du polynôme caractéristique.
Enfin, je ne vois comment utiliser le carré du polynôme caractéristique, pour conclure.
La notion de positivité est-elle présente dans le cadre de l'exercice ?
(1-X)e^{X+\cdots+\frac{X^n}{n}}\equiv 1\mod X^{n+1}\Rightarrow (1-X)\equiv e^{-(X+\cdots+\frac{X^n}{n})}\mod X^{n+1}
$$ Donc $$
\det(I_n-XA)\equiv e^{-\mathrm{Trace}(XA+\cdots+\frac{X^nA^n}{n})}=e^{-\sum\limits_{i=1}^n(X\lambda_i+\cdots+\frac{X^n\lambda_i^n}{n})}\equiv\prod_{i=1}^n(1-X\lambda_i).
$$
Programme MP actuel ?