Caractérisation valeurs propres par la trace

Mrocdemorgat · April 2018

Bonjour.

Soit $A$ une matrice carrée réelle de taille $n$. On suppose qu'il existe $n$ réels distincts $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que : $$
\forall k \in \left\{ 1,\ldots, n\right\}, \quad \text{tr}(A^k)=\lambda_1^k+\cdots+\lambda_n^k.
$$ Il s'agit de montrer que $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sont les valeurs propres de $A$, sans utiliser les formules de Newton (c'est un exercice d'oral du concours Mines-Ponts MP).

Avez-vous des idées ?
Merci d'avance.

Poirot · April 2018

Pour n'importe quel polynôme annulateur $P$ de $A$, on obtient en utilisant la linéarité de la trace, $P(\lambda_1) + \dots + P(\lambda_n)=0$. En choisissant pour $P$ le carré du polynôme caractéristique de $A$, c'est gagné ;-)

gb · April 2018

@Poirot :
Le problème c'est que l'égalité des traces n'est donné que jusqu'à l'exposant $n$ et pas au-delà.
Le résultat ne vaut donc pas pour le carré du polynôme caractéristique.
Enfin, je ne vois comment utiliser le carré du polynôme caractéristique, pour conclure.

Mrocdemorgat · April 2018

Le souci est que la relation $\text{tr}(P(A))=P(\lambda_1)+\ldots+P(\lambda_n)$ n'est obtenue que pour $\text{deg}(P)\leq n$.

Poirot · April 2018

Ah oui j'ai lu trop vite ! Mon histoire du carré du polynôme caractéristique nous donne(rait) que chaque $\chi_A(\lambda_i)^2=0$ par positivité, et donc chaque $\lambda_i$ est valeur propre de $A$. Il faudrait encore montrer qu'on les a toutes.

gb · April 2018

Poirot a écrit:

$\chi_A(\lambda_i)^2=0$ par positivité

La notion de positivité est-elle présente dans le cadre de l'exercice ?

Poirot · April 2018

Oui, l'exercice est dans le cadre réel.

gb · April 2018

Effectivement… il faut que je retourne apprendre à lire.

P. · April 2018

Dans l'anneau des séries formelles $$
(1-X)e^{X+\cdots+\frac{X^n}{n}}\equiv 1\mod X^{n+1}\Rightarrow (1-X)\equiv e^{-(X+\cdots+\frac{X^n}{n})}\mod X^{n+1}
$$ Donc $$
\det(I_n-XA)\equiv e^{-\mathrm{Trace}(XA+\cdots+\frac{X^nA^n}{n})}=e^{-\sum\limits_{i=1}^n(X\lambda_i+\cdots+\frac{X^n\lambda_i^n}{n})}\equiv\prod_{i=1}^n(1-X\lambda_i).
$$