Isomorphisme de modules
Bonsoir
Soit $R$ un anneau commutatif avec $1$. Si $I , J \lhd R$ alors on définit $(J : I ) = \{x \in R\mid xI \subset J \}$.
Je veux montrer que $$Hom_R(R/I ,R/J )\cong
(J : I )/J$$ en utilisant l'application $\quad\psi \mapsto \psi(1+I )\ $ et le premier théorème d'isomorphisme.
Merci bien de m'aider.
Soit $R$ un anneau commutatif avec $1$. Si $I , J \lhd R$ alors on définit $(J : I ) = \{x \in R\mid xI \subset J \}$.
Je veux montrer que $$Hom_R(R/I ,R/J )\cong
(J : I )/J$$ en utilisant l'application $\quad\psi \mapsto \psi(1+I )\ $ et le premier théorème d'isomorphisme.
Merci bien de m'aider.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$$Hom_R(R/I ,R/J )\cong(J : I )/J$$
Pour cela je pense qu'il faut utiliser l'application
$ Hom_R(R/I ,R/J )\to (J : I )$, $\psi\mapsto \psi(1+I)$
Il faut que tu montres que l'application en question est injective et qu'elle est surjective, puisqu'elle est déjà definie du module que tu veux vers le module que tu veux
Soit $\psi$ dans le noyau donc $\psi(1+I)=0$ pourquoi ça donne $\psi=0$?
et pour la surjectivité comment à partir d'un élément de $x\in (J:I)/J$ on peut trouver $\psi\in Hom(R/I,R/J)$ tel que $\psi(1+I)=x$?
Suggestion : pour $a\in R$ et $\psi\in\mathrm{Hom}_R(R/I,R/J)$, que vaut $\psi(a+I)$ en fonction de $\psi(1+I)$ ? (Prépare-toi à un truc de dingues, il faut utiliser la définition de morphisme de $R$-module !)
\begin{array}{cccl}
h:&(J:I)&\longrightarrow &\text{Hom}_R(R/I, R/J) \\
&x&\longmapsto& \left\{ \begin{array}{cccl}
h_x:&R/I&\longrightarrow &R/J \\
&r+I&\longmapsto& xr+J
\end{array} \right.
\end{array} $$ est bien définie ?
Tu dois prouver que :
\[r+I=r'+I \implies xr+J=xr'+J\]
ce qui est une traduction immédiate de : \(x\in(J:I)\).
On a $r+I=r'+I \implies x(r+I)=x(r'+I ) \implies xr+xI=xr'+xI\subset xr+J $ et $xr+xI=xr'+xI\subset xr'+J$
Je ne voit pas pourquoi on a égalité