Matrice

Lotfi
Lotfi
dans Algèbre
Bonjour

Soit $F $ un corps, $m \ge 1$, et $f (x) = (x -\lambda)^m\in F[x]$.
On définit $V = F[x]/( f )$
et $S : V\to V$ par $S\big(g +( f )\big) = xg +( f ).$

Je veux déterminer la matrice de $S$ par rapport à la matrice $$
B=(x -\lambda)^{m-1}+( f ),\ (x -\lambda)^{m-2}+( f ), \ldots , (x -\lambda)+( f ),\ 1+( f ).
$$ Merci de m'aider.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu fais une confusion entre matrice et base. Ton $B$ n'est pas une matrice, c'est une suite finie d'éléments de $F[x]/(f)$ qui se trouve être une base de $F[x]/(f)$ comme $F$-espace vectoriel.
    Tu demandes donc quelle est la matrice dans cette base de l'endomorphisme de multiplication par (la classe de) $x$ dans $F[x]/(f)$.
    Tu sais sans doute la définition de la matrice d'un endomorphisme dans la base $B$ : c'est la matrice dont la colonne d'indice $j$ est formée des coordonnées (dans la base $B$) de l'image par l'endomorphisme du $j$-ème vecteur de $B$.
    Aide-toi toi-même pour calculer cette matrice ; ça n'a vraiment rien de compliqué, tu peux le faire.
  • Lotfi
    Lotfi
    On a
    $S(e_1)=x(x-\lambda)^{m-1}$
    $S(e_2)=x(x-\lambda)^{m-2}$
    $S(e_3)=x(x-\lambda)^{m-3}$
    $\cdots\vphantom{S()}$
    $S(e_{n-1})=x(x-\lambda)$
    $S(e_n)=x$
    Mais je ne sais pas comment exprimer ces résultats en fonction de $e_1,e_2,\ldots,e_n$
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Par exemple, tu ne vois absolument pas comment décomposer $x$ dans la base $B$ ?
  • Lotfi
    Lotfi
    non :-(
  • gb
    gb
    Exercice classique :

    Prouver que \((1,X-a)\) est une base du \(F\)-espace vectoriel \(F_{\leqslant1}[X]\) et déterminer les coordonnées de \(X\) dans cette base.
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