Double inclusion et singleton

Précisément.

Oui, tout élément de l'ensemble vide est égal à $0$. Si tu n'es pas d'accord, montre-moi un élément de l'ensemble vide différent de $0$.

Un exemple ? Soit $A$ l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $n+1=0$.
Soit $n$ un élément de $A$. Si $n>0$, alors $n+1>1$ et donc $n+1\neq 0$. Par conséquent $n=0$.

PS. La théorie axiomatique des ensembles n'a rien à voir là-dedans, c'est juste de la logique élémentaire, en particulier la compréhension du quantificateur universel.

Pourquoi me fâcherais-je ? Je veux simplement te pousser à expliciter ce que tu affirmes. Ton explicitation n'est pas tout à fait satisfaisante. Reprenons correctement ton raisonnement.
On a démontré $\forall n\ (n\in A\implies n=0)$. Bien. Tu dis, et tu as raison, que puisque $A$ est l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $n+1=0$, on a $\forall n\ ((n\in A \text{ et } n=0)\implies 0=1)$.
On en déduit tout à fait logiquement que $\forall n\ (n\in A\implies 0=1)$. D'accord, $0=1$ c'est l'absurde. Comme $P \implies \text{absurde}$, c'est la même chose que $\text{non}\ P$, on a ainsi démontré $\forall n\ (n\not \in A)$, autrement dit on a démontré que $A$ est vide. On est loin d'avoir démontré l'absurde !

Quand on a $\forall n\ (P\implies Q)$ et $\forall n\ ((P\text{ et }Q)\implies R)$, en déduire $\forall n\ (P\implies R)$ ne me semble pas très subtil, si ?