Réduction de Gauss et bases q-orthogoales

La méthode de Gauss fournit des formes linéaires linéairement indépendantes $\ell_1,\dots,\ell_r$ telles que la forme quadratique $q$ s'écrive, pour des constantes $\let\a=\alpha\a_1,\dots,\a_r$ sous la forme $q=\a_1\ell_1^2+\cdots+\a_r\ell_r^2$. Complétons la famille libre $(\ell_1,\dots,\ell_r)$ en une base $(\ell_1,\dots,\ell_n)$ de l'espace $E$ sur lequel on travaille et soit $(v_1,\dots,v_n)$ la base duale (ou préduale si on veut). Quelle est la matrice de $q$ dans cette base ?