Polynômes d'endomorphismes

Bonsoir,

J'aimerais montrer que si j'ai à ma disposition un polynôme à coefficients complexes $P \in \mathbb{C}[z]$ et un endomorphisme $T \in \mathcal{L}(E)$ ayant $\lambda_1, \cdots, \lambda_p$ comme valeurs propres distinctes alors, nécessairement les valeurs propres de l'endomorphisme $P(T)$ sont égales à $P(\lambda_j), j = 1 ,\cdots, p$.

Pour ce faire, on regarde le polynôme caractéristique de $P(T)$, noté $\chi_{P(T)}$ en le complexe $\lambda$. Dans mon cours, le prof a procédé comme suit,
\begin{align*}
\chi_{P(T)}(\lambda) &= \det \left( P(T) - \lambda \ \textrm{id} \right) \\
&= \det \left( (P - \lambda)(T) \right) \\
&= \cdots
\end{align*}

Je ne comprends pas comment passer de $ \det \left( P(T) - \lambda \ \textrm{id} \right) $ à $ \det \left( (P - \lambda)(T) \right)$. En effet, $P$ est un élément de $\mathbb{C}[z]$ et $\lambda$ est un élément de $\mathbb{C}$. J'ai du mal à voir un sens à l'opération $P - \lambda$.

Voici les définitions adoptées:
Un endomorphisme sur $\mathbb{C}$ est un opérateur linéaire d'un $\mathbb{C}$-vectoriel $E$ sur lui-même. L'ensemble des endomorphismes de $E$ est noté $\mathcal{L}(E)$.

Si $P: \mathbb{C} \to \mathbb{C}: z \mapsto P(z) = a_n z^n + \cdots + a_0$ est un polynômes à coefficients complexes (l'ensemble des polynômes à coefficients complexes est noté $\mathbb{C}[z]$), on pose, $$P: \mathcal{L}(E) \to \mathcal{L}(E): T \mapsto P(T) = a_n T^n + \cdots + a_0 \ \textrm{id}, \quad \textrm{avec, $T^n = T \circ \cdots \circ T$, $n$ fois}$$
$P(T)$ est le polynôme associé à l'endomorphisme $T$.

Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme $T$ est, $$\chi_T: \mathbb{C} \to \mathbb{C}: \lambda \mapsto \chi_T(\lambda) = \det(T - \lambda \ \textrm{id})$$

Enfin, l'opérateur identité noté id est l'opérateur qui à tout élément $x$ de $E$ rend $x$.