Nombre de racines carrées d'une matrice

jp59 · April 2018

Bonjour,

Après avoir déterminé les racines carrées d'une matrice carrée de taille n fixée qui admet n valeurs propres réelles distinctes et strictement positives (lambda1, ..., lambda n) (donc il existe P inversible tel que D=P-1AP) c'est-à-dire l'ensemble des matrices qui s'écrivent
Pdiag(epsilon1racine de lambda1,...,epsilon nracine de lambda n)P-1 où les epsilon i appartiennent à l'ensemble qui contient -1 et 1 puissance n, on doit montrer qu'une telle matrice admet 2^n racines carrées
Dans un corrigé il est écrit "l'ensemble, notons le E, qui contient 1 et -1 puissance n est de cardinal 2^n" est équipotent à l'ensemble des matrices racines carrées de A (il construit une bijection entre les 2 pour le prouver) donc A admet 2^n racines carrées
Je ne comprends pas le passage qui explique que card(E)=2^n, E est l'ensemble des n-upletes qui contiennent que des 1 et des -1... Une fois qu'on a dit ça je suis bloqué et n'arrive pas à passer le cap des 2^n
Comment arrive-t-on à 2^n ? Je me doute qu'il faille parler de dénombrement d'applications, de bijections etc... mais je suis très peu à l'aise avec ces choses là.
Une explication ?
Merci.

Math Coss · April 2018

Commençons par des cas particuliers.
Si $n=1$, combien d'éléments dans $\{-1,1\}$ ? (Si nécessaire, écris-les tous.)
Si $n=2$, les éléments de $\{-1,1\}^2$ sont les couples $(a_1,a_2)$ avec $a_1\in\{-1,1\}$ et $a_2\in\{-1,1\}$. Combien y a-t-il de tels couples ? (Si nécessaire, écris-les tous.)
Si $n=3$, les éléments de $\{-1,1\}^3$ sont les triplets $(a_1,a_2,a_3)$ avec $a_1\in\{-1,1\}$ et $a_2\in\{-1,1\}$ et $a_3\in\{-1,1\}$. Combien y a-t-il de tels triplets ? (Si nécessaire, écris-les tous.)
Et ainsi de suite. À quel stade bloques-tu ?

jp59 · April 2018

AH oui d'accord je visualise déjà mieux le 2^n, mais j'avais l'impression qu'un résultat général était utilisé
Un résultat du type le cardinal de tout ensemble de cardinal p (p=2 ici) puissance n = p^n est-ce vrai?

Math Coss · April 2018

C'est bien le cas : si $E$ et $F$ sont des ensembles (finis), $\newcommand{\c}{\mathop{\mathrm{card}}}\c(E^F)=\c(E)^{\c(F)}$.
Les notations sont diablement bien faites, non ?

Restons à $E^n$, où $E$ est un ensemble fini, disons de cardinal $p$, et $n$ est un entier. Ce qui suit n'est pas vraiment une preuve mais presque. Un élément de $E^n$, c'est une liste de $n$ éléments de $E$, disons $(a_1,\dots,a_n)$. Choisir une telle liste, c'est choisir « indépendamment » $a_n$ dans $E$ (il y a $p$ choix possibles) et une $n-1$-liste $(a_1,\dots,a_{n-1})$ d'éléments de $E$. « Indépendamment », ça veut dire que quel que soit le choix de $a_n$, on a le même nombre de choix pour $(a_1,\dots,a_{n-1})$. Il y a donc $p$ fois plus de $n$-listes que de $n-1$-liste. On en déduit (par un raisonnement par récurrence) qu'il y en a $p^n$ en tout.

Le lien entre les deux paragraphes ? Par définition, $E^n=E^{\{1,2,\dots,n\}}$.